Курсовая работа по дисциплине «Нелинейные дифференциальные уравнения» на тему «Автономные системы»

(t0)= ц(t0)=xi(0), i=1, n. (2)

Это значит, найти закон движения

= цi (t, t0, x1 (0), x2 (0),…, xn (0))= цi (t, t0, x0), (3)

определяющий в любой момент времени t положение движущейся точки, которая в начальный момент времени t0 занимала начальное положение x0=(x1 (0), x2 (0),…, xn (0)).

Для обеспечения существования и единственности решения задачи Коши для системы (1), т.е. задачи (1) и (2), предположим, что все функции fi (t, x) непрерывны и имеют непрерывные частные производные ∂ fi (t, x) /∂xk, k=(1, n), в цилиндрической области Q= DЧ(- ∞,+∞), где D - ограниченная замкнутая область пространства Rn переменных (x1, x2,…, xn), t (- ∞,+∞).
В силу теоремы Пикара решение (3) задачи Коши определяется в малой окрестности точки (t0, x0) области Q. Будем предполагать, что это решение продолжено на всю числовую ось - ∞ < t < +∞.
Наибольший интерес представляет частный случай системы (1), когда ее правые части явно не зависят от t:


dxi/dt=fi (x1, x2,…, xn)= fi(x), i=(1, n) (4)

где функции fi (x) и ∂ fi /∂xj, i.j=1, n, определены и непрерывны в области D Rn. Тогда D является фазовым пространством системы (4).

Систему уравнений (4) называют автономной. Она определяет стационарное движение среды, т.е. скорость движения в каждой точке фазового пространства не зависит от времени t и, следовательно, является постоянной в этой точке в течение всего времени.
Например, автономная система x1= x2, x2=-x1 имеет общее решение

x1=C1cos (t+C2), x2=C1sin (t+C2).

В пространстве R3 переменных x1, x2, t эти функции изображаются винтовыми линиями, а в фазовом пространстве переменных x1, x2 (здесь оно вся плоскость R2) - окружностями x12+x22=С12. Каждая окружность изображает бесконечное множество решений, отличающихся только значениями С1. Точка x1=x2=0 является особой точкой - центром.

2. Свойства решений автономных систем

Лемма1. Если xi=ц(t), i=(1, n)- решение автономной системы (4), то для любой постоянной С xi=ц (t+С), i=(1, n), также является решением этой системы.
Доказательство. Из правила дифференцирования сложной функции имеем
/dt цi (t+C)=d/(d (t+C)) (цi (t+С)) (d (t+C))/dt= цi (t+С), (5)

По условию при любом t R справедливы равенства

цi(t)=fi (ц1 (t), ц2 (t),…, цn(t)), i=(1, n)

Заменяя в этих тождествах t на t+C, получим