Курсовая работа по дисциплине «Нелинейные дифференциальные уравнения» на тему «Автономные системы»

цi (t+C)=fi (ц1 (t+С), ц2 (t+С),…, цn (t+С)), i=(1, n) (6)

Тогда из равенства (5) и (6) следует требуемое утверждение.

Лемма 2. Если xi=ц(t) и xi=ш(t), i=(1, n), - два решения системы (4) и цi(t1)=шi(t2), то шi(t)= цi (t+C), где С=t1-t2 т.е. если траектории xi=цi(t) и xi= шi(t), имеют общую точку, то эти траектории совпадают.
Доказательство. В силу леммы 1 функции xi=цi (t+C), i=(1, n), С=t1-t2 являются решением системы (4). В силу равенства цi(t1)=шi(t2) при t=t2 имеем
(t2)=цi (t2+C)= цi(t1)=шi(t2) (7)

Следовательно, решения xi=цi (t+C) и xi=шi(t), i=(1, n), удовлетворяют при t=t2 одинаковым начальным условиям, поэтому, в силу единственности решения задачи Коши для системы (4), они совпадают, т.е. цi (t+C)=шi(t), i=(1, n).

Лемма 2 показывает, что траектории, описываемые первым и вторым решениями, совпадают между собой, при этом второе решение описывает ту же самую траекторию, что и первое, но с «запозданием» на время С.
Следствие 1. Решение автономной системы (4) не может войти в особую точку за конечное время.
Доказательство. Пусть a=(a1, a2,…, an) - особая точка системы (4), т.е. xi=ai является решением этой системы. Если траектории решений xi=ai и xi=цi(t) не совпадают, то они не имеют общих точек. Следовательно, xi≠цi(t) при всех t. Решение цi(t), i=(1, n), системы (4) может приближаться к особой точке только при t→+∞ или t→-∞
Лемма 3. Решения автономной системы (4) обладают групповым свойством, т.е. если xi=цi (t, x0) i=(1, n), - решение системы (4), удовлетворяющее начальному условию: цi (0, x0)=xi(0), i=(1, n), то

цi (t, ц (ф, x0))= цi (t+ф, x0).

Доказательство. Пусть xi(1)= цi (ф, x0), i=(1, n). Тогда цi(1)=цi (t, ц (ф, x))=цi (t, x1 (1), x2 (1),…, xn(1)) - решение системы (4). В силу леммы 1, цi(2)= цi (t+ф, x0), i=(1, n), также является решением системы (4). При этом в точке t=0:

цi(1) (0)=цi (0, x1 (1), x2 (1),…, xn(1))=xi(1), i=(1, n);

цi(2) (0)=цi (ф, x1 (0), x2 (0),…, xn(0))=xi(1), i=(1, n).

Следовательно, решения цi(1) (t) и цi(2) (t) системы (4) удовлетворяют одним и тем же условиям. Тогда на основании теоремы единственности они совпадают. Тем самым справедливость равенства (7) доказана.

Наглядный смысл леммы 3 состоит в следующем: чтобы выяснить куда точка x0 переместится за время t+ф, надо выяснить, в какую точку она перейдет за время t, а затем куда эта вторая точка перейдет за время ф.
Определение. Пусть xi=цi(t), i=(1, n), - решение автономной системы (4), определенное на всей прямой - ∞ < t < + ∞. Число С называется периодом решения xi=цi(t), i=(1, n), если цi (t+C)= цi(t), i=(1, n), при всех t R.
Пусть F - множество всех периодов решения xi=цi(t), i=(1, n), системы (4). Это множество непусто, так как 0 F.
Лемма4. а) Если С F, то - С F. б) Если C1 C2 F, то C1+ C2 F. в) F - замкнутое множество.
Доказательство.
а) Поскольку С - период, то для любого t: цi (t+C)= цi(t)), i=(1, n). Заменяя в этом тождестве t на t-C, получим цi(t)= цi (t-C), i=(1, n), и это означает, что - С есть период.

б) цi (t+C1+С2)= цi (t+С1)=цi(t), i=(1, n)

в) Пусть C0 - произвольная предельная точка множества F. Тогда существует последовательность Cn из F такая, что lim┬nCn= C0. Тогда в силу непрерывности решения цi(t) имеем

цi (t+C0)= цi (t+lim┬nCn)= цi (lim┬n(t+Cn) =lim┬nцi (t+Cn)=lim┬nцi(t)= цi(t), i=(1, n)

Отсюда следует, что C0 F, значит, F есть замкнутое множество.

Решение системы (4) вида xi=ai, i=(1, n) где ai - постоянные, называется положением равновесия или точкой покоя. Ясно, что xi=ai, i=(1, n), является положением равновесия системы (1) только тогда, когда fi (a1, a2, …, an)=0, i=(1, n).
Теорема 1. Пусть траектория xi=цi(t), i=(1, n), автономной системы (4) сама себя пересекает, т.е. цi(t1)=цi(t2) i=(1, n) при t1≠t2 И числа t1 и t2 принадлежит интервалу r1< t< r2 определения решения xi=цi(t), i=(1, n). Тогда решение xi=цi(t), i=(1, n), может быть продолжено на всю прямую - ∞ < t < + ∞ и имеет место одна из следующих возможностей: 1) для все t имеет место равенство цi(t)=ai, i=(1, n), т.е. решение цi(t) является положением равновесия, т.е. точка (ц1 (t), ц2 (t), …, цn(t)) не движется при изменении t, а стоит на месте;
) существует число Т>0 такое, что при любом t имеет место равенство

цi (t+T)=цi(t), i=(1, n),

но при 0 <|t¬1-t2|
В случае 2) решение xi=цi(t), i=(1, n), системы (4) называется периодической, а его траектория - замкнутой траекторией или циклом.
Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы и для определенности t1< t2. В силу леммы 2 при C = t1 - t2 имеем