Курсовая работа по дисциплине «Нелинейные дифференциальные уравнения» на тему «Автономные системы»

цi(t)=цi (t+C), i=(1, n), (8)

Функции xi=цi (t+C), i=(1, n), являются решением системы (4) при r1 - C< t< r2 - C, и, кроме того, в силу равенства (8), решения цi(t) и цi (t+C) совпадают на общей части их областей определения, т.е. при r1 - C< t< r2 - C. Значит, решение

=шi(t)={(цi(t), r1 < t< r2,@ цi (t+C), r1 - C< t≤ r2 - C,)┤

является продолжением решения xi=цi(t), i=(1, n), на интервалe (r1 - C, r2). Последовательно повторяя описанную процедуру, получим продолжение решения xi=цi(t), i=(1, n), определенное на интервале (- ∞, r2). На основании равенства цi(t)=цi (t-C), i=(1, n) аналогично найдем продолжение решения xi=цi(t), i=(1, n), с интервала (- ∞, r2) на всю числовую прямую - ∞ < t < + ∞. Таким образом, решение xi=цi(t), i=(1, n) можно считать определенным при всех t R и из самого способа продолжения следует, что постоянная C= >0 является периодом этого решения. Пусть F - множество периодов решения xi=цi(t), i=(1, n). Могут представиться две возможности: а) F содержит сколь угодно малые положительные числа; б) в F существует наименьшее положительное число.

В случае а) найдется бесконечно малая последовательность положительных периодов Cn, т.е. Cn>0 и Cn 0 при n +∞. Пусть t - произвольная фиксированная точка из R. Рассмотрим последовательность дробных частей чисел t/Cn:

an=t/Cn - [t/Cn]=t/Cn - бn,

где бn = [t/Cn] - целая часть числаt/Cn, которая ограничена, и поэтому lim┬nanCn=0. Числа бnCn будучи целыми кратными периодов Cn, сами также являются периодами решения цi(t), i=(1, n). Тoгда 43

цi(t)= цi (t - бnCn).

Переходя здесь к пределу при n +∞, получим

цi(t)=lim┬nцi (t-бnCn)=цi (lim┬n(t-бnCn))= цi (lim┬nбnCn)= цi(0).
Следовательно, в случае а) решение xi=цi(t), является положением равновесия. В случае б) при любом t R имеет место равенство

цi (t+T)= цi(t), i=(1, n).

Покажем, что цi(t1)≠цi(t2) при всех t1 и t2, удовлетворяющих неравенству 0 < |t¬1-t2|0. В силу леммы 2, цi(t)= цi (t+C), где С=t1-t2 >0. Значит, С=t1-t2 служит положительным периодом решения цi(t), i=(1, n), и С
Из доказанной теоремы 1 вытекает следующее
Следствие 2. Траектория любого непродолжаемого решения автономной системы (4) может быть либо положением равновесия, либо замкнутой траекторией, либо траекторией без самопересечений.