Курсовая работа по дисциплине «Нелинейные дифференциальные уравнения» на тему «Автономные системы»

4. Функция последования.

Для разыскания циклов применяют так называемую функцию последования. Пусть дана гладкая линия L без контактов, т.е. линия L ни в какой своей точке не касается траекторий системы (4). Такими линиями могут служить малые отрезки нормалей к траекториям. Пусть положение точки на L определяется параметром ф, т.е. a=a(ф) ϵ L. Проведем через точку a(ф0) траекторию l решения x=ц(t) системы (4) в сторону возрастания t и продолжим эту траекторию до первого пересечения с L, если оно состоится. Тогда точке пересечения отвечает значение ф=ф1, зависящее от ф0. Эта зависимость ф1=ш(ф0) и называется функцией последования. Функция последования определена, вообще говoря, не для всех значений ф (т.е. она определена не вдоль всей линии L), а только для тех, для которых траектория l при своем продолжении вновь встречает (пересекает) линию L. Эта функция может даже оказаться не определенной ни для одной точки L. Оказывается, если она определена при некотором значении ф, то она обязательно определена и непрерывна для всех достаточно близких значений ф, что вытекает из теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных и из того, что линия L без контакта, и поэтому траектории, встречаясь с L, пересекают ее. Можно также показывать, что функция последования является строго монотонной и непрерывно дифференцируемой.

Теорема 2. Для того чтобы через точку a(ф0) проходил цикл, необходимо и достаточно, чтобы значение ш(ф0) было определено и ш(ф0) = ф0.
Доказательство. Достаточность. Если ш(ф0) = ф0, то траектория проходящая через точку ф1= ш(ф0), сама себя пересекает. Тогда в силу следствия из теоремы 1 она является замкнутой или положением равновесия. Последнее невозможно, так как в этом случае вектор f(x0)=0, x0=ц (a(ф0)) и он был бы касательным к линии L в точке ф0, что противоречит определению линии L.
Необходимость. Если ш(ф0) не определено, то траектория l_(a (ф_0)) при t > t0 не пересeкает L и поэтому она не может быть циклом (не может вновь пройти через a(ф0)). Пусть теперь значение ф1= ш(ф0) определено, но ф1≠ф0. Обозначим a(ф0) = a0, a(ф1)= a1. Тогда дуга a0a1 траектории l_(a_0) и дуга a0a1 линии L вместе образуют замкнутую кривую Г, которая делит плоскость на две области. Конечную из них обозначим через G. Так как L - линия без контакта, поэтому все траектории пересекают ее в одном направлении, т.е. все траектории либо входят в область G (рис. 3, а), либо выходят из нее (рис. 3, б). Ни одна траектория не может выйти из области G (или зайти в область G) через дугу a0a1 линии L и дугу a0a1 траектории l_(a_0).
Дуга a0a1 линии L (на рис. 3 линия L - отрезок) может пересекаться траекториями либо внутри области G, либо вне этой области. Рассмотрение обоих случаев показывает, что траектория l_(a_0), продолженная за точкой a1, не может вновь прийти в точку a0, т.е. не может быть циклом. Теорема 2 полностью доказана.





Теорема 3. Для того чтобы через точку a(ф0) проходил предельный цикл автономной системы (4), необходимо и достаточно, чтобы функция ш(ф) была определена при ф=ф0, ш(ф0) =ф0 и для достаточно малых ф: | ф-ф0|>0 выполнено равенство ш(ф) ≠ ф.
Действительно, поскольку выполнены все условия теоремы 2, то траектория l, проходящая через точку a(ф0), будет циклом. В силу дополнительного условия этот цикл К изолированный, так как траектории, отличные от К и проходящие через точки, достаточно близкие к К, не будут замкнуты. В противном случае, замкнутые траектории пересекали бы линию L в точках, как угодно близких к точке ш(ф0). Поскольку функция ш(ф) непрерывна и строго монотонна, то этим траекториям отвечали бы корни уравнения ш(ф)= ф, сколь угодно близкие к ф=ф0, что невозможно.
Пусть x=ц(t) - предельный цикл системы (4). Через произвольную точку x0=ц(t0) проведем отрезок L так, чтобы вектор f(x0) не был параллелен L. Это возможно, так как f(x0)≠0. В противном случае предельный цикл есть положение равновесия.
Пусть x0=ш(ф0)=a0 и ш(ф)= a - функция последования. Чтобы установить связь между поведением функции ш(ф) вблизи точки ф0 с поведением как внешних, так и внутренних траекторий к предельному циклу К рассмотрим неравенства