Курсовая работа по дисциплине «Нелинейные дифференциальные уравнения» на тему «Автономные системы»

dx/dt=P (x, y), dy/dt=Q (x, y) (10)

Имеет вид

/dt=2xdx/dt+2ydy/dt=2 (xP+yQ) (11)

Отсюда вытекает

Утверждение 3. Если существуют такие две постоянные r0 и r1, r0 В самом деле, равенство (11) в первом случае показывает, что через круги x2+y2=r02 и x2+y2=r12 интегральные кривые системы (10) не могут выходить из кольцевой области G при росте параметра t, а во втором случае при уменьшении параметра t.
Утверждение 4. Если в односвязной замкнутой области фазовой плоскости выражение Px+Qy сохраняет знак и не тождественно обращается в нуль, то в этой области система (10) не имеет замкнутых траекторий.
Доказательство. Пусть G - односвязная замкнутая область на фазовой плоскости, граница Г которой целиком состоит из траекторий системы (10). Тогда по формуле Грина
(∂P/∂x+ ∂Q/∂y) □(24&dx) □(24&dy)=∫_ГP (24&dy) - Q(24&dx)= dt=0,

Но это возможно только тогда, когда выражение Px+Qy меняет знак внутри области G.

В плоском случае предельные циклы могут быть соответственно трех видов (рис. 2): устойчивые (а), неустойчивые (б) и полуустойчивые (в).

Пример 1. Показать, что система уравнений на плоскости (x1, x2)=(x, y)

{(x=-y+x (1-√(x^2+y^2))@y=x+y (1-√(x^2+y^2)))┤

Имеет единственное положение равновесия (0,0) и устойчивый предельный цикл.

Решение. Для исследования данной системы удобно на фазовой плоскости (х, у) перейти к полярным координатам х=rcosц, y=rsinц. Тогда из данной системы получаем следующие уравнения для определения rI и цI(t):

r cosц - r sinц*ц= - r sinц+ r cosц (1 - r),sinц+ r cosц*ц= r cosц+ r sinц (1 - r).

Отсюда имеем

=r*(1-r), ц1=1.

Первое из этих уравнений имеет 2 частных решения r=0 и r=1. В области 0 < r <1 производная r1 (t)>0, следовательно, решение r(t) возрастает от нуля до единицы, а в области r>1, напротив, r1 (t) и функция r(t) убывает от бесконечности к единице. Поскольку ц=t+ц0, то при r≠0 и r≠1 все траектории при t→+∞ с обеих сторон от окружности r=1 приближаются по спирали к ней. Следовательно, окружность r=1 является, устойчивым предельным циклом. Положение равновесия x=y=0 есть устойчивый фокус.

Пример 2. Показать, что система уравнений
/dt=y + x/√(x^2+y^2) (1-x2-y2), dy/dt= - x + y/√(x^2+y^2) (1-x2-y2) имеет устойчивый предельный цикл x2+y2=1.

Решение. Из данного уравнения составим выражение

+yQ=√(x^2+y^2) (1-x2-y2)

из которого вытекает, что если x2 + y2 = 1 + е, то xP + yQ < 0, если x2 + y2 = 1 - е, 0< е1, то xP + yQ > 0. Тогда в илу утверждения 3 в кольце между окружностями x2 + y2=1- е и x2 + y2 = 1 + е имеется устойчивый предельный цикл. Поскольку е произвольно мало, то этим предельным циклом может быть лишь окружность x2 + y2 = 1.

Пример 3. Показать, что нелинейное уравнение
x + f(x) x +g(x) = 0, x=x(t),

где функции f(x), g(x) непрерывно-дифференцируемы на сегменте a ≤ x ≤ b и f(x) cохраняет там знак, в полосе a ≤ x ≤ b не может иметь предельных циклов.

Решение. Рассмотрим систему, соответствующую данному уравнению:

dx/dt=P (x, y)=y, dy/dt=Q (x, y)= - f(x) y - g(x).

Составим выражение

∂P/∂x + ∂Q/∂x= - f(x),

которое сохраняет знак в полосе a ≤ x ≤ b. Тогда в силу утверждения 4 данное уравнение в полосе a ≤ x ≤ b фазовой плоскости (х, у) не имеет предельного цикла.