Курсовая работа по дисциплине «Нелинейные дифференциальные уравнения» на тему «Автономные системы»

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Математика и суперкомпьютерное моделирование»

Курсовая работа

по дисциплине «Нелинейные дифференциальные уравнения»
на тему «Автономные системы»
Выполнил студент: Тикунова Е.А.
Группа: 20ВМ1

Руководитель:

доцент Валовик Д.В.
Работа защищена с оценкой ___________
Преподаватель ___________
Дата защиты ___________

2020

Оглавление

1. Механическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка 4
2. Свойства решений автономных систем 6
3. Предельное поведение траекторий. Предельные циклы 12
4. Функция последования. 19
Список используемой литературы 23

1. Механическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка

Теорема существования и единственности решения Коши имеет следующее геометрическое истолкование: через каждую точку рассматриваемой области пространства Rn+1 проходит единственная интегральная кривая.
Здесь дадим еще одну интерпретацию системы дифференциальных уравнений первого порядка, особенно важную для приложений в механике и физике. Обозначим независимую переменную через t и будем ее рассматривать как время; искомые функции обозначим через x1, x2,…, xn и будем считать, что они задают закон движения xi=xi(t), i=1, n, материально й точки. Систему значений этих переменных будем рассматривать как множество точек n - мерного пространства, которое и называют фазовым пространством переменных (x1, x2,…, xn)=x. Тогда нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка примет вид


dxi/dt=fi (t, x1, x2,…, xn)= fi (t, x), i=1, n (1)

Система (1) в каждый момент времени t в данной точке (x1, x2,…, xn) фазового пространства определяет вектор скорости f=(f1, f2,…, fn) движущейся материальной точки, т.е. система (1) задает поле скоростей в пространстве (x1, x2,…, xn). Решением системы (1) является такой закон движения x=x(t)=(x1 (t), x2 (t),…, xn(t)) материальной точки, при котором эта точка в процессе движения имеет в каждый момент времени t заданную скорость f. При такой интерпретации система (1) называется динамической системой, а каждое ее решение - движением. Кривая, описываемая материальной точкой при таком движении, называется траекторией движения (не следует путать эту траекторию с интегральной кривой системы (1), так как интегральная кривая расположена в Rn+1). Задачи Коши для системы (1) теперь состоит в том, что требуется найти движение xi=ц(t), i=1, n, системы (1), удовлетворяющее при t=t0 начальным условиям