|
Рассмотрим определенное решения xi=цi(t), i=(1, n), или в векторной форме x=ц(t) системы (4) и соответствущую ему тректорию l в фазовом пространстве D.
Точка x ̃=((x1) ̃, (x2) ̃,…, (xn) ̃) D называется предельной точкой решения x=ц(t) (или траектории l) при t→ ¬+∞, если существует последовательность tn→ ¬+∞, для которых ц(tn) x ̃. Совокупность всех таких точек называется предельным множеством при t→ ¬+∞, для данного решения. Аналогично определяются понятия б - предельной точки и б - предельного множества при t→ ¬-∞. (Предельные точки, множества при t→ ¬+∞ и при t→ ¬-∞ называют также соответственно щ - предельными и б - предельными точками, множествами решения x=ц(t) системы (4)).
Приведем примеры.
. Пусть при t→ ¬+∞, траектория l по спирали приближается к циклу l ̃ (рис. 1). Тогда этот цикл и является предельным множеством для l при t→ ¬+∞. Действительно, выбирая любую точку x ̃ ϵ l ̃, посторим точки a1=x (t¬1), a2=x(t2), a3=x(t3), … так, как показaно на рис. 1, последовательность котрых сходится к точке x ̃
Если цикл является предельным множеством при t→ ¬+∞ или t→ ¬-∞ для отличной от него траектории, то он называется предельным циклом, т.е. предельным циклом называется замкнутая траектория, у которой существует окрестность, целиком заполненная траекториями, неограниченно приближающимися к этой замкнутой траектории при t→ -+∞ или при t→ ¬-∞.
Предельный цикл называется устойчивым, если все траектории (как внешние, так и внутренние) приближаются к нему только при t→ ¬+∞, неустойчивым - если только при t→ ¬+∞, полуустойчивым - если только с одной стороны цикла траектории приближаются к нему при t→ ¬+∞, а с другой стороны при t→ ¬-∞ или наоборот.
. Tочка покоя системы (4) является своей едиснтвенной предельной точкой как при t→ ¬+∞, так и при t→ ¬-∞. Замкнутая траектория является своим собственным предельным множеством.
. Для траектории x=e^(-t) (x R1) множество предельных точек при t→ ¬+∞, состоит из единственной точки x=0. Для траектории x1=сe^(-t) cost/(1+e^t), x1=сe^(-t) sint/(1+e^t), с=const>0, множество предельных точек при t→ ¬- ∞ есть точка x1=x2=0, а множество предельныx точек при t→ ¬+∞, есть окружность x12+x22=с2.
Рассмотрим свойства предельных множеств, причем для определенности при t→ ¬+∞.
Лемма 5. Предельное множество траектории замкнуто.
Доказательство. Пусть l ̃ - предельное множество траектории l, заданной решением x=ц(t). Пусть x ̃ - произвольная предельная точка l ̃. Тогда существует последовательность (xk) ̃ l ̃ такая, что x ̃k →x ̃ при k→+∞. По определению предельного множества l ̃ для любого k найдется последовательность tkn ∞, для которой x (tkn) (xk) ̃ при n→+∞. Выберем tk так, чтобы tk>k и расстояние с (x(tk), (xk) ̃)< 1/k. Тогда при tk +∞ (k→+∞) имеем
с (x(tk), x ̃) с (x(tk), (xk) ̃) + с((xk,) ̃x ̃)< 1/k + с((xk,) ̃x ̃)→0,
это означает, что x ̃ есть предельная точка l при t→ ¬+∞, т.е. x ̃ ϵ l ̃.
Лемма 6. Предельное множество состоит из целых траекторий, т.е. это означает, что если x ̃ l ̃, то и вся траектория lx ̃ с начальной точкой x ̃ целиком принадлежит l ̃.
Доказательствo. Пусть исходная траектория l определена решением x=ц (t, t0, x0). Тогда ц (tn, t0, x0) x ̃ l ̃ при 432 и при любом фиксированном t на основании леммы 3
ц (tn+t, t0, x0) = ц (t0, t0, ц (t0+ tn, t0, x0)) ц (tn, t0, x0),
т.е. ц (tn, t0, x0) l ̃.
Лемма 7. Для того чтобы предельное множество было пустым, необходимо и достаточно, чтобы траектория, определенная решением x=ц(t), «уходила в бесконечность», т.е.
(t) → +∞ при t→+∞
Дoказательство. Если условие (9) не выполнено, то найдется шар B:∑_(i=1)^nxi2 d2 в Rn, внутри которого траектория решения x=ц(t) содержит точки при как угодно больших t. Тогда существует последовательность tk→+∞, для которой ц(tk) B. Выделяя из этой ограниченной последовательности сходящуюся подпоследовательность, найдем при t+∞ предельную точку решения x=ц(t).
Лемма 8. Для того, чтобы предельное множество состояло из одной точки x ̃, необходимо и достаточно, чтобы траектория l решения x=ц(t) входила в точку x ̃ при +∞, т.е. ц(t)→ x ̃ при t→+∞.
Действительно, достаточность очевидна. Пусть x ̃ - единственная предельная точка траектории l. Зададим произвольное е >0 и надо показать, что для всех достаточно больших t расстояние с (x(t), x ̃)<е. Допустим противное. Тогда существует последовательность tk→+∞ и с (x(tk), x ̃)≥ е. По определению предельной точки x ̃ найдется последовательность tk→+∞, для которой с (x(tk), x ̃)< е. Из этих рассуждений в силу непрерывности функции ц(t) следует, что существует новая последовательность tk→+∞ и с (x(t), x ̃) = е. Выделяя из ограниченной последовательности x(tk) сходящуюся подпоследовательность, при k→+∞ получим новую предельную точку x ̃ ̃, для которой с(x ̃ ̃, x ̃)=е. Следовательно, кроме x ̃, имеется еще, по крайней мере, одна предельная точка траектории l.
Оказывается, когда размерность фазового пространства n=2, то о предельном поведении траекторий на фазовой плоскости можно установить больше интересных фактов, чем в случае n>2. Это установили математики А. Пуанкаре и И. Бендиксон. Здесь приведем несколько утверждений, принадлежащих им.
В качественной теории дифференциальных уравнений важную роль играют признаки, которые позволяют выделить области на фазовой плоскости, где содержатся или отсутствуют предельные циклы.
Утверждение 1. Внутри области G, ограниченной замкнутой траекторией системы (4) (n=2) и целиком лежащей на фазовой плоскости, существует по крайней мере одна особая точка.
Отсюда, в частности, следует, что если в некоторой области фазового плоскости нет особой точки системы (4), то в этой области нет и замкнутых траекторий.
Утверждение 2. Пусть G - ограниченная замкнутая область, лежащая на плоскости системы (4) и не содержащая ее особых точек. Если траектория l решения x=ц(t) системы (4) при n=2 в начальный момент времени t=t0 выходит их точки, лежащей в области G, и остается в G при всех t≥t0, то траектория l либо сама является замкнутой, либо с течением времени она по спирали наматывается на замкнутую траекторию.
Коротко это утверждение можно сформулировать так: ограниченное предельное множество траектории l, не содержащее особых точек, состоит из замкнутой траектории.
Из утверждений 1 и 2 вытекает следующий принцип кольцевой области: Пусть на фазовой плоскости системы (4) построена кольцевая область G, через границы которой все интегральные кривые при t≥t0 входят в нее или одновременно все выходят из G, тогда если эта G не содержит особых точек, то внутри G содержится предельный цикл.
Внутренняя граница кольца может вырождаться в особую точку.
Эти геометрические признаки весьма трудны при практическом применении, так как не указаны правила построения нужных кольцевых областей. Наиболее употребляемый прием - это рассмотрение семейства замкнутых дифференцируемых непересекающихся кривых F (x, y)=C=const. Такое семейство называют топографической системой. В качестве такой системы рассмотрим семейство концентрических окружностей: x2+y2=C2. Производная от функции F (x, y)= x2+y2 в силу данной системы
Do'stlaringiz bilan baham: |
