Курсовая работа по дисциплине «Нелинейные дифференциальные уравнения» на тему «Автономные системы»

| ш(ф) -ф0| < | ф-ф0|, | ш(ф) -ф0 | > | ф-ф0| (12)

Если в полуокрестности линии К (внешний или внутренней) выполнено первое из этих неравенств, то точка a1=ш(ф) линии L находится ближе к a0 , чем точка a (рис. 4, а), и поэтому в этой полуокрестности траектории спирально наматываются на К при t→+∞. Если же в полуокрестности выполнено второе из неравенств (12), то в этой полуокрестности траектории спирально наматывается на К при t→-∞ (рис. 4, б)

В силу теоремы 3 на достаточно малом интервале ф-ф0|<д существует единственное решение ф=ф0 уравнения ш(ф)= ф. Не теряя общности, функцию последования ш(ф) будем считать строго возрастающей. Тогда имеет место одна из четырех возможностей взаимного расположении графиков функций ш=ш(ф) и ш=ф (рис. 5).

В случае, приведенном на рис. 5, a) производная ш'(ф0)<1, поэтому в обеих полуокрестностях точки ф0 выполнено первое из неравенств (12), и, следовательно, предельный цикл К устойчив. При ш'(ф0)>1 (рис. 5, б) выполнено второе из неравенств (12), предельный цикл К неустойчив. Если графики функций ш=ш(ф) и ш=ф в точке (ф0, ф0) касаются друг друга, то цикл К является либо устойчивым, либо неустойчивым. Если же кривая ш=ш(ф), касаясь биссектрисы ш=ф , находится по одну ее сторону: выше или ниже (рис. 5, в, г), то соответствующий предельный цикл К полуустойчив.

Список используемой литературы

дифференциальный последование функция траектория
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1977
2. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1982
3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1984
4. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М., 1986