Конспект лекций по цос

6. Обратное z-преобразование
Переход от z-образа X(z) к по­следовательности x(n) называется обрат­ным z-преобразованием и формально определяется соотношением

x(n) = , (19)

где С – замкнутый контур в z – плоскости, охватывающей все особенности функции X(z)z ^{n – 1}.
Интеграл (5.19) вычисляется с помощью теоремы о вычетах. Функция x(n) определяется суммой вычетов подынтегральной функции в полюсах, расположенных в области, охватываемой контуром С,
x(n) = Res_zk (X(z) z ^{n – 1}), (20)
где Res_zk (X(z) z ^{n – 1}) – вычет в простом полюсе, который равен
Res_zk (X(z) z ^{n – 1}) = lim_zzk ((z – z_k) X(z) z ^{n – 1}).
Один из способов вычисления (5.19)
x(n) = .
Если X(z) – дробно-рациональная функция, то ее можно разложить на простые дроби:
X(z) = _k / (1 – _k z^–1).
В этом случае, используя свойство линейности, с учетом (20) получим решение в виде суммы
x(n) = _k (_k) ⁿ.

Лекция 5
1. Дискретное преобразование Фурье

Ранее было рассмотрено несколько методов описания последо­вательностей или дискретных систем. К ним относятся дискрет­ная свертка, преобразование Фурье и z-преобразование. В тех случаях, когда последовательность периодична (или имеет конечную длительность) ее можно представить рядом Фурье. Итак, рассмотрим периодическую последовательность x_p(n) с периодом в N отсчетов. Ее можно за­писать следующим образом:
x_p(n) = X_p(k) e^j(2/N)kп (1)
причем частоты спектральных составляющих, образующих x_p(n), могут принимать только значения _k = 2k/N, –  < k < , поскольку периоды других частот не кратны N. В равенстве (1) коэффициенты X_p(k) представляют амплитуды синусоид с частотами _k. Запись вида (1) избыточна вследствие перио­дичности функции e^j, так как комплексные экспоненты с часто­тами
_k = k = _kmN = (k  mN) при 0 < m < 
не отличаются друг от друга, т. е.
x_p(j kn) = exp [j (k  mN)n].
Следовательно, равенство (5.21) можно переписать в виде
x_p(n) = X_p(k) (2)
– имеется всего N различных комплексных экс­понент с периодом в N отсчетов. Для удобства перепишем равен­ство (5.22) в общепринятом виде
x_p(n) = X_p(k) (ОДПФ) (3)
– деление на N не изменяет способа представления. Чтобы выразить коэффициенты X_p(k) через x_p(n), умножим обе части равенства (3) на exp[–j(2/N)kn] и просуммируем результаты по n:
x_p(n) = X_p(k) . (4)
Меняя в правой части (4) порядок суммирования и используя формулу
X_p(k) =
получим
x_p(n) = X_p(k)u₀(k – m) (5)
– периодические последовательности отмечены индексом р.
После перестановки левой и правой частей равенства (5) и замены индекса т на k
X_p(k) = x_p(n) . (ДПФ) (6)