4. Теория z-преобразования В задачах анализа и синтеза линейных систем применяется преобразование Лапласа, которое приводит дифференциальные уравнения в алгебраические уравнения. Ядро преобразования Лапласа ept, где p = j – комплексная переменная. Изображение по Лапласу дискретных последовательностей, в которые входит функция epT, оказываются трансцендентными функциями переменной p, что затрудняет анализ. Для упрощения анализа можно перейти к новой переменной z, связанной с p соотношением z = epT; p = ln z /T. При такой замене изображения дискретных последовательностей трансцендентные функции комплексной переменной p преобразуются в рациональные функции от переменной z, благодаря этому упрощается их представление на плоскости z. Преобразование плоскости p = + j в плоскость z = x + jy можно осуществить с помощью соотношений, связывающих координаты k, k точек на плоскости p с координатами xk, yk точек на плоскости z zk = xk + jyk = e(k + jk)T; xk = ekT cos k; yk = ek T sin k. Числовой последовательности {xk} = (x0, x1, x2, x3,…), содержащей отсчеты некоторого сигнала, можно поставить в соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной z: X(z) = x0 + x1/ z + x2/ z2 + x3/ z3 + … = . (16) Такая сумма, если она существует, называется z-преобразовани-ем последовательности {xk}. Ясно, что комплексная функция (5.16) определена лишь для тех значений z, при которых степенной ряд сходится.
Последовательности конечной длины
Если последовательность x(n) отличается от нуля только в конечном интервале N1 n N2, то X(z) сходится в z-плоскости везде, за исключением, быть может, точек z = 0 или z = . Линейную стационарную систему, импульсная характеристика которой – последовательность конечной длины, называют системой с конечной импульсной характеристикой (КИХ) или КИХ-фильтром. На последовательностях конечной длины основан важный класс методов проектирования цифровых фильтров.
Рис. 4.Последовательность конечной длины
Типичная импульсная характеристика {h(n)} конечной длины изображена на рис. 4. Если все ее элементы h(n) конечны, то линейная стационарная система с такой импульсной характеристикой всегда устойчива. Проверка на устойчивость
– условие физической реализуемости (2.12), сводится к суммированию конечного числа ограниченных слагаемых. Такую систему всегда можно сделать физически реализуемой, введя необходимую задержку импульсной характеристики (например, на –N1 отсчетов, если N1< 0).
Физически реализуемые последовательности
Если x(n) отличается от нуля только при 0 N1 n < , то X(z) сходится везде вне круга радиуса R1. Величина R1 зависит от положения особых точек X(z), называемых полюсами системы. Как будет показано, при R1 < 1 соответствующая система является устойчивой. Физически реализуемые последовательности весьма важны, так как на их основе строится большинство реальных систем.
Нереализуемые последовательности
Если последовательность x(n) имеет ненулевые значения в области
– < n < N1 0, то ряд X(z) сходится во всех точках, лежащих в круге радиуса R1, причем R1 определяется положением особых точек X(z). В практических задачах нереализуемые последовательности обычно не встречаются, но при рассмотрении некоторых теоретических вопросов они могут представлять интерес.
Практический интерес имеют z-преобразования некоторых стандартных последовательностей.
Пример 1. Найти z-преобразование единичного импульса.
Решение. Последовательность x(n) = 0 при любых п, за исключением z = 0, где x(n) = 1, то Х(z) = 1. Х(z) сходится на всей z-плоскости, так как единичный импульс – последовательность конечной длины.
Пример 2. Найти z-преобразование единичного скачка.
Решение. Последовательность x(n) = 0 везде, кроме n 0, где
x(n) = 1, поэтому
Х(z) = = ,
причем Х(z) сходится при |z| > 1, так как Х(z) имеет единственную особую точку z = 0.
Пример 3. Найти z-преобразование комплексной экспоненты
x(n) = 0, n < 0; x(n) = , n 0.
Решение. Вычисляя z-преобразование, получим
Х(z) = = = ,
причем Х(z) сходится при |z| > 1, так как единственной особой точкой Х(z) является z = .
Пример 4. Найти z-преобразование простой экспоненциальной последовательности
x(n) = 0, n < 0; x(n) = an, n 0.
Решение. Подставив x(n) в (5.16), получим Х(z) сходится при |z| > а, так как имеет только одну особую точку z = a.
Do'stlaringiz bilan baham: |