Конспект лекций по цос

Соотношение (6) носит название дискретного преобразования Фурье (ДПФ), а (3) – обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ).
Из определений (3) и (6) видно, что обе последователь­ности x_p(n) и X_p(k) периодичны с периодом в N отсчетов. Ясно также [см. (6)], что X_p(k) полностью определяются одним пе­риодом x_p(n). Отсюда возникает интересный вопрос: как связа­ны z-преобразование конечной последовательности, образован­ной из одного периода периодической последовательности, и ДПФ всей периодической последовательности? Иначе говоря, рассмо­трим последовательность конечной длины
x(n) = (7)
причем последовательность x_p(n) имеет период в N отсчетов, т. е. x(n) представляет собой один период периодической после­довательности x_p(n). z-преобразование x(n) имеет вид
X(z) = x(n) z^–n . (8)
Вычисляя сумму (8) в точке на еди­ничной окружности z–плоскости с полярным углом 2k/N, находим
X(z) = x(n) . (9)
Сравнивая суммы (9) и (6) и учитывая, что x_p(n) = x(n) на интервале 0  n  N – 1, получаем
X_p(k) = X_p( ). (10)
Итак, коэффициенты ДПФ последовательности конечной длины равны значениям z-преобразования этой же последовательности в N точках, равномерно распределенных по единичной окружно­сти. Еще более важный вывод состоит с том, что коэффициенты ДПФ последовательности конечной длины однозначно представляют саму последовательность, так как по ним можно точно восстановить исходную последовательность, используя обратное ДПФ. Итак, хотя ДПФ и ОДПФ вводятся для периодических последовательностей, важно, что через них можно представлять последовательности конечной длины.
Пример 6. Для иллюстрации приведенных положений рассмотрим перио­дическую последовательность на рис. 6, а) с периодом N , опре­деляемую как x_p(n) = aⁿ, 0  n  N – 1,
x_p(n + mN) = x_p(n), m = ±l, ±2, ... .
Согласно определению (6), ее ДПФ равно
X_p(k) = aⁿ = [a ]ⁿ =
= (1 – a^N) / [1 – a ], 0  n  N – 1.
Модули и фазы элементов последовательности X_p(k) для значений а = 0,9 и N = 16 изображены на рис. 6, б).
Последовательность x(n) конечной длины
x(n) = (7)
состоит из одного периода последовательности x_p(n) – ри( 6, а).
z-преобразование последовательности (7) равно
X(z) = aⁿ z^–n = .