Конспект лекций по цос

Рис.6. Периодическая последовательность

и последовательность конечной длины

Вычисляя значения Х (z) на единичной окружности, получим

X( ) = .
Модуль и фаза полученной функции для 0    2 и изображе­ны на рис. (6, г). Значения X_p(k) и X_p(e^2k/N) в точках  = 2k/N совпадают.
ДПФ однозначно представляет последовательность конечной длины, поэтому можно найти ее z-преобразование через коэффициенты ДПФ этой последовательности. Из со­отношений (5.27), (5.23) и определения z-преобразования полу­чаем
X(z) = x(n) z^–n = X_p(k) . (10)
Равенство (10) доказывает, что z-преобразование последова­тельности непосредственно связано с коэффициентами ее ДПФ. Для точек на единичной окружности равенство (10) принимает вид
X( ) = X_p(k) . (11)
Здесь функции вида интерполирует значения коэффициентов ДПФ X_p(k) на всю ось частот, следо­вательно, с помощью формулы (11) по коэффициентам ДПФ последовательности конечной длины можно найти ее непрерывный частотный спектр.
Представление конечных последовательностей с помощью ДПФ удобно также для получения значений преобразования Фурье в L точках, равномерно распределенных по единичной окружности. Для получения требуемого частотного разрешения L может быть выбрано значительно бόльшим, чем N.
Рассмотрим конечную последовательность {x(n), 0  n  N – 1} с преобразованием Фурье
X( ) = x(n) .
Вычисляя X( ) на частотах  = 2l/L, l = 0, 1, …, L – l, получим
X( ) = x(n) . (12)
Для достижения более высокого разрешения при расчете преобразования Фурье необходимо увеличить объем выборки при дискретизации (стробировании) аналоговой функции.
Введем новую последовательность длины L точек (L > N):
=
и найдем ее L –точечное ДПФ:
= . (13)
Если = 0 при k  N , то равенство (13) можно запи­сать в виде
= x(n) . (14)
Сравнивая (14) и (12), получим = X( ).

Таким образом, простое дополнение последовательности конеч­ной длины нулевыми отсчетами улучшает условия различения синусоидальных компонент при расчете преобразования Фурье этой последова­тельности для совокупности точек, равномерно распределенных по единичной окружности. При спектральном анализе конечных последовательностей эта несложная операция оказывается одной из наиболее полезных. Частотное разрешение зависит только от длительности сигнала N. Выбор L > N лишь улучшает условия различения синусоидальных компонент.

Итак, ДПФ однозначно представляет после­довательность конечной длины, содержащую N элементов, при­чем коэффициенты ДПФ равны значениям z-преобразования по­следовательности в N точках, равномерно распределенных по единичной окружности. Аналогично z-преобразование любой (в том числе и бесконечной) последовательности однозначно пред­ставляет эту последовательность. Было также показано, что ди­скретизация во временной области приводит к наложению в ча­стотной области.
Можно показать, что дискретизация в частотной области также приводит к наложению во временной области. Рассмотрим сначала, какая получится последовательность, если в качестве коэффициентов ДПФ ваять значения произвольного z-преобразования, вычисленного в N точках, равномерно распре­деленных по единичной окружности. Пред­положим, что последовательность h(n) (не обязательно конечная) имеет z-преобразование
H(z) = h(n) z^–n.