Конспект лекций по цос

2. Единицы измерения частоты
Часто возникает необходимость выразить спектральный состав последовательности h(nT) в единицах частоты, связанных с ин­тервалом дискретизации Т. В этом случае равенства (1) и (2) преобразуются к виду
H(e^jT) = ; (7)
h(nT) = H(e^jT) e^jnT d. (8)
Функция H(e^jT) периодична по частоте  с периодом, равным 2/T. Частота  в (7) и (8) выражается в радианах в секун­ду (рад/с). Характеристику (7) можно выразить и через частоту f, измеряемую в герцах, если  заменить па 2 f.

Рис.1. Частотная харак­теристика системы

с ин­тервалом дискретизации Т = 0,0001 с.

Пример 1. Если период дискретизации Т = 10^–4 с. (частота дискретизации 1/T = 10 кГц), то H(e^j2fT) – периодическая функция частоты f с периодом 10 кГц и H(e^jT) – периодическая функция  с периодом 210⁴ рад/с.

Типичная частотная харак­теристика для системы с действительной импульсной характеристикой – последовательностью, имеющей ин­тервал дискретизации Т = 10^–4 сек., приведена на рис. 1. Поскольку последовательность действительная, частотная ха­рактеристика обладает свойствами симметрии.

3. Сравнение аналоговых и дискретных систем

Последовательность x(nT) часто полу­чают путем дискретизации непрерывного колебания x(t) с перио­дом Найквиста – Котельникова Т
x(nT) = x(t)_t=nT .
Важно представлять, каким образом спектр числовой последовательности X(e^jT)  x(nT) связан с преобразованием Фурье X_H(j) непрерывной функции x(t). Установление связи между спектрами имеет практическое значение при разработке цифровых преобразователей.
Пара преобразований Фурье для непрерывной функции x(t)
X_H(j) = x(t) e ^{– jt}dt ; (9)
x(t) = X_H(j)e^–jtd (10)
имеет аналогичный вид для дискретизированной функции x(nT)
X(e^jT) = ; (11)
x(nT) = X(e^jT) e^jnT d. (12)
Процесс дискретизации x(nT) = x(t)_t=nT связывает X_H(j) и X(e^jT) закономерностью, которую можно установить, вычислив интеграл (5.10) для t = nT; при этом интеграл с бесконечными пределами следует заменить бесконечной сум­мой интегралов на интервалах длиной 2/T
x(nT) = X_H(j)e^jnTd. (13)
Изменив в (13) порядок действий и заменив  на , получим
x(nT) = [ X_H( + m)]e ^jnTd. (14)
Приравнивая подынтегральные выражения в (5.14) и (5.12), по­лучим соотношение между спектрами непрерывной x(t) функции и дискретизированной x(nT) = x(t)_t=nT функции