Kirish algebraik amallar va ularning turlari Algebralar Halqa va ideal xossalari 14

Kurs ishining maqsadi: Matematik darslarida Modul va uning xossalari haqida ma’lumotlarni o’rganishdan iborat.
Kurs ishining ob’ekti: Oliy va o’rta ta’lim muassasalarida matematikani o’qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: Modul va uning xossalari.
Kurs ishining vazifalari:

• 
  Algebraik amallar va ularning turlari;
  
• 
  Algebralar;
  
• 
  Halqa va ideal xossalari;
  
• 
  Modulga doir asosiy tushuncha;
  
• 
  Modulning asosiy xossalari.
  

Kurs ishining tuzilishi. Kirish, 1 bob, 5 ta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat.

1. Algebraik amallar va ularning turlari

Algebraik strukturalarini sinflarga ajratish algebraik amallar va ularning qaysilari strukturada aniqlanganligiga qarab bajariladi. Shuning uchun algebraik amallarni ko‘rib chiqamiz.
1-ta’rif. A ¹ Æ ixtiyoriy tabiatli elementning to‘plami, n manfiy bo‘lmagan butun son bo‘lsin. U holda ixtiyoriy : Aⁿ®A akslantirish A to‘plamda aniqlangan n o‘rinli yoki n-ar algebraik amal, n sonni esa algebraik amalning rangi deyiladi.
A to‘plamda aniqlangan nol o‘rinli amal deb, A to‘plamning qandaydir elementini tayinlashni (ajratishni) aytiladi.
2-ta’rif. Agar : Aⁿ®A akslantirishning aniqlanish sohasi Aⁿ ning to‘g‘ri qismidan iborat bo‘lsa, u holda ni A to‘plamda aniqlangan qisman algebraik amal deyiladi.
Rangi 0,1 va 2 bo‘lgan algebraik amallarni mos ravishda nolar, unar va binar algebraik amallar deyiladi. Unar amalni operator ham deb ataladi.
Bundan buyon n-ar algebraik amal deyish o‘rniga n-ar amal yoki amal degan terminlarni ishlatishga kelishamiz. - A to‘plamda aniqlangan ixtiyoriy amal bo‘lsin. Agar : Aⁿ®A akslantirishda (a,b)Î A² elementga cÎA mos keltirilgan bo‘lsa, u holda ((a,b))=c yoki (a,b)=c ko‘rinishda yozishning o‘rniga a b=c yoki (a,b) ®c yoki a ê b=c yoki a^b=c yoki a b=c yoki a*b=c,... ko‘rinishda belgilash qabul qilingan. Qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish amallarini mos ravishda a+b=c, a-b=c, ab=c va a:b=c ko‘rinishda belgilanadi.
3-misol. M - ixtiyoriy tabiatli elementlarning qandaydir bo‘sh bo‘lmagan to‘plami, A={B:BÌM} bo‘lsin. U holda :A®A akslantirishni "(BÎA) (b)=M\b ko‘rinishda aniqlasak, A to‘plamda aniqlangan unar amal (operator) dan iborat bo‘ladi.
4-misol. A 14- misoldagi to‘plam bo‘lsin. Agar :A²®A akslantirish
"( B₁,B₂Î A) (B₁,B₂)= B₁ È B₂, (B₁,B₂)= B₁ÇB₂
ko‘rinishda berilsa, har ikkala holda ham -A to‘plamda aniqlangan binar amaldan iborat bo‘ladi.
5-misol. N natural sonlar to‘plami, "(nÎ N) tayinlangan natural son bo‘lsin.
U holda :A²®A akslantirish "(m₁,m₂,...,m_nÎ N) (m₁,m₂,...,m_n)=(m₁,m₂,...,m_n) ko‘rinishda berilsa, - N to‘plamda aniqlangan n-ar amal bo‘ladi. Bu joyda (m₁,m₂,...,m_n),- m₁,m₂,...,m_n natural sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi.
6-misol. Bo‘lish amali butun sonlar sistemasida aniqlangan qisman amaldan iborat.
Agar A to‘plamda binar amal aniqlangan bo‘lsa, uni algebra deyiladi. Va (A, ) ko‘rinishda belgilanadi.
7- ta’rif. va * lar A to‘plamda aniqlangan ixtiyoriy amallar bo‘lsin:
a) "(a,bÎ B) a b=b a bo‘lsa, u holda amal kommutativ (o‘rin almashtirish) xossasiga;
b) "(a,b,cÎ A) (a b) c=a (b c) bo‘lsa, u holda - assotsiativ (gruppalash) xossasiga;
v) "(a,b,cÎ A) (a b)*c=(a*c) (b*c) va c*(a b)=(c*a) (c*b) bo‘lsa, mos ravishda * amal amalga nisbatan o‘ng va chap distributiv (o‘ng va chap taqsimot) xossasiga ega deyiladi. Agarda * amal kommutativ bo‘lsa, oxirgida "o‘ng" va "chap" so‘zlari tushirilib qoldiriladi.
8-misol. Sonlarni odatdagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari kommutativ, assotsiativ va ko‘paytirish amali qo‘shish amaliga nisbatan distributiv, lekin qo‘shish amali ko‘paytirish amaliga nisbatan distributiv emas. Chunki
a+bc=(a+b)(a+c)
tenglik hamma vaqt ham o‘rinli bo‘lmaydi.
9-misol. Sonlarni ayirish amali kommutativ ham, assotsiativ ham emas.