Kirish algebraik amallar va ularning turlari Algebralar Halqa va ideal xossalari 14

Masalan. Q- ratsional sonlar maydoni Z butun sonlar halqasining nisbatlari maydoni bo‘ladi.
Agar E halqa bo‘lsa, uchun quyidagi tengliklar o‘ringa ega bo‘ladi:

Agar R maydon bo‘lsa, quyidagi munosabatlar o‘ringa ega bo‘ladi:
1-teorema. Aytaylik E halqa K esa uning bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plami bo‘lsin. K E halqaning qism halqasi bo‘lish uchun
a) "a,bÎ K, a+b, a×b Î E
b) aÎ K Þ (-a)Î K shartlarni o‘ringa ega bo‘lish zarur va yetarlidir.
Maydon va uning asosiy xususiyatlari
Endi halqalarning umumiy nazariyasiga yana qaytamiz. Halqalar uchun oddiy algebra va arifmetikadagi ko‘p qonunlarning saqlanib qolishini biz aniqlangan edik. Agarda biz quyidagi ikki shartning bajarilishini talab qilsak:
1) R halqa kommutativ bo‘lsin;
2) ax=b tenglama a0 bo‘lganda, har vaqt R ichida yechiladigan bo‘lsin, u holda halqaning algebraik xossalari yana ham kuchayadi. Quyidagi ta’rifni kiritamiz.
Maydon deb shunday kommutativ R halqaga aytiladiki, uning ichida hech bo‘lmaganda bitta noldan farq qiladigan element mavjud bo‘lib R dan olingan har qanday a0 va b elementlar uchun R ichida ax=b yechiladigan tenglamadir (taqsim qilishning bajarilishi).
Maydon qanday qo‘shimcha hossalar ega ekan? Maydon noldan va qarama-qarshi elementlardan boshqa yana birlik elementga va teskari elementlarga ega bo‘lar ekan.
Faraz qilaylik c0 maydonning biror elementi bo‘lsin. Maydon ta’rifi bo‘yicha har vaqt shunday e elementni tanlab olish mumkinki, natijada
(4)
bo‘ladi. Ochiq ma’lumki, e0. Agar e=0 bo‘lsa edi, c=ce=0 bo‘lib, c0 shart buzilgan bo‘lar edi.
Ko‘rsatish mumkinki, e maydonning birlik elementidir, ya’ni har qanday a element uchun

bo‘ladi. Isbot qilish maqsadida maydondan shunday x elementni tanlab olamizki, u quyidagi tenglamani qanoatlantirsin
(5)
so‘ngra bu tenglamaning ikki tomonini e ga ko‘paytiramiz. U vaqtda, assotsiativ va kommutativ qonunlardan foydalansak, mana bu

hosil bo‘ladi yoki (4) va (5) larga binoan

bo‘ladi. O‘z-o‘zidan ma’lumki, ea ham a ga teng, chunki maydon kommutativ halqadir.
Endi mana bu
(6)
tipdagi tenglamani ko‘rib chiqaylik. Buning bittagina yechimga ega ekanligini quyidagicha ko‘rsatish mumkin. Faraz etaylik (6) tenglamaning yechimi bitta emas, balki ikkita bo‘lsin: x=x₁, x=x₂, u vaqtda
(7)
(8)
bo‘ladi. (7) tenglikning ikki tomonini x₂ ga ko‘paytiramiz:
.
Lekin ikkinchi tomondan, (8) ga asosan

bundan x₁ = x₂ hosil bo‘ladi.
(8) tenglamaning yolg‘iz birgina yechilmasini yoki orqali belgilash va a ga nisbatan teskari element deb aytish qabul qilingan. Ya’na shuni ham eslab o‘tamizki, bo‘ladi, chunki tenglamaning yechilmasi, shubhasiz a bo‘ladi:

Endi umumiy holga o‘tamiz:
.
Buning ikki tomonini ga ko‘paytirish bilan biz yolg‘izgina yechilmaga ega bo‘lamiz va uni ko‘rinishda yozamiz. simvol ustida bo‘ladigan amallarning kasrlar ustida bo‘ladigan amallardan hech qanday farqi yo‘qligini ko‘rish qiyin emas: bo‘lganda va faqat shu holdagina bo‘ladi.
(qo‘shish qoidasi)
(ko‘paytirish qoidasi) ;
(bo‘lish qoidasi)
Shu munosabatlarning hammasini isbot qilamiz.
Birinchisidan boshlaymiz. tenglikning ikki tomonini bd ga ko‘paytirsak
yoki ad=bc
bo‘ladi.
Aksincha, ad=bc bo‘lsin. Bu tenglikning ikki tomonini ni ko‘paytirsak
yoki
kelib chiqadi.
Qo‘shish qoidasini isbot qilmoq uchun ni bd ga ko‘paytirib, distributiv qonundan foydalansak

yoki ba’zi ma’lum bo‘lgan qisqartishlardan keyin mana bu

kelib chiqadi. Nihoyat, so‘nggi tenglikning ikki tomonini ga ko‘paytirib ushbu natijaga ega bo‘lamiz:

Uchinchi munosabat ham (ko‘paytirish qoidasi) aynan shu usulda isbot qilinadi. Ya’ni:

buning ikki tomonini ga ko‘paytirilsa

hosil bo‘ladi.
Endi bo‘lish qoidasini tekshiramiz. Ma’lumki

Haqiqatan ham, ga nisbatan teskari elementdir, chunki ko‘paytirish qoidasiga muvofiq

Demak,

shuni isbot qilish kerak edi.
Arifmetikaning odatdagi qonunlari maydon uchun ham saqlanganidan, butun darajalar ustida bo‘ladigan hamma ma’lum qoidalarni aynan elementar algebradagi kabi keltirib chiqarish mumkin. Shu bilan birga manfiy ko‘rsatkichli daraja deb (m- butun musbat son ) biz ni tushunamiz. Manfiy ko‘rsatkichli bo‘lmagan darajani biz yuqorida aniqlangan edik.
Nihoyat, quyidagi arifmetik qonunning maydonda ham bajarilishini qayd qilib o‘tamiz: agarda ikkita ko‘paytiruvchining ko‘paytmasi nolga teng bo‘lsa, u holda ko‘paytiruvchilardan kamida bittasi nolga teng bo‘ladi, boshqacha aytganda maydon nolning bo‘luvchilariga ega emas.
Bu oddiy isbot qilinadi: a  0 bo‘lsin, u holda ab=0 tenglikning ikki tomonini ga ko‘paytirsak b=0 kelib chiqadi.
Yuqorida bayon qilingan fikrlarni yakunlaymiz. Biz yuqorida ko‘rdikki maydon faqat nol va qarama-qarshi elementlargagina ega bo‘lmasdan, balki birlik elementga va teskari elementlarga ham ega. Undan tashqari, maydon nolning bo‘luvchilariga ega emas.
Mana shu aytilganlarning mohiyati nima. Buning manosi shuki,
1) qo‘shish amaliga nisbatan maydon abel gruppasidir,
2) ko‘paytirishga nisbatan, maydonning noldan boshqa hamma elementlari abel gruppasini tashkil qiladi.
Maydonlarga misollar.
8-misol. Arifmetik qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan, hamma ratsional sonlar to‘plami maydon uchun eng sodda misol bo‘la olaydi. Darhaqiqat, amallarga nisbatan ratsional sonlar to‘plami kommutativ halqa tashkil qilib, ratsional a  0 va b uchun ax=b tenglama shu halqada hamma vaqt yechiladigan tenglamaladir. Chunki ikkita ratsional sonning nisbati yana ratsional son bo‘ladi.
Aksincha, hamma butun sonlar to‘plami arifmetik qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan maydon emas, faqat kommutativ halq tashkil etadi, chunki uning ichida ax=b (a0) tenglamani har vaqt ham yechib bo‘lavermaydi, bunga sabab shuki, ikkita butun sonning nisbati har doim butun bo‘lavermaydi.
9-misol. Boshqa misol-hamma haqiqiy (ya’ni ratsional va irratsional) sonlar to‘plami oldingi arifmetik amallarga nisbatan maydon tashkil qiladi, chunki bu to‘plam ko‘rayotgan amallarga nisbatan kommutativ halqa tashkil qilib, shu to‘plamda taqsim qilish amali har vaqt bajariladi (albatta, nolga bo‘lish chiqarib tashlanadi). Bu ishimizda biz ko‘pincha sonli maydonlar bilan ish ko‘ramiz, ya’ni shunday sonli halqalar bilan ish ko‘ramizki, ular ichida bo‘lish amalini, nolga bo‘lishni e’tiborga olmaganda bajarish mumkin bo‘lsin. Hamma kompleks sonlar to‘plami eng keng sonli maydon tashkil qiladi: u har qanday sonli maydonni o‘z ichida bir qismi sifatida saqlaydi.
10-misol. Hamma butun sonlarni ikki sinfga ajratamiz: juft sonlar sinfiga va toq sonlar sinfiga. Birinchi sinfni A₀ orqali va ikkinchi sinfni A₁ orqali belgilashni shart qilib olamiz, so‘ngra ikkita A₀ va A₁ elementlardan iborat bo‘lgan S to‘plamni tekshiramiz. Bu to‘plamda biz ikkita algebraik amalni – sinflarni qo‘shish va ko‘paytirishning ta’rifini beramiz.