Kompleks differensial formalar

1.5 Kompleks differensial formalar.
Bizga vektor fazoda va lar berilgan bo’lsin.Quyidagi akslantirishni qaraymiz

Bu akslantirishni biz chiziqli akslantirish deyiladi, qachonki da har bir o’zgaruvchisi bo’yicha chiziqli o’rnatish mumkin bo’lsa.Bilamizki, qachonki, . da berilgan bo’lsin.Bu oilaga tegishli barcha akslantirishlar oilasini bilan belgilaymiz. da ni ga o’tkazuvchi akslantirishni bilan belgilaymiz, qulaylik uchun . Agar va bo’lsa funksiyalarni tashqi ko’paytmasi ni quyidagi formula bilan belgilaymiz. (1.5.1)
Albatta, .Ko’pincha dagi basis agar bo’lsa , u holda dagi bazis
bo’ladi. (1.5.2)
Agar natural son bo’lib, bo’lsa, tashqi ko’paytmasi chiziqli biakslantirish deyiladi.
(bu munosabat 1.5.1.dan kelib chiqadi)
( ) va lar (1.5.2)dagi basis vekorlar.
Faraz qilaylik, da va ochiq to’plam berilgan bo’lsin. dagi differensial formaning musbat darajasi yoki dagi formani akslantirish yordamida yozamiz.

Bu kitobda biz quyidagi ko’p indeksli yozuvdan foydalanamiz. Agar bo’lsa, Tartiblangan multindekslar ni kabi belgilaymiz.
dagi darajali differensial formani quyidagicha yoza olamiz.
(1.5.3)
Bu yerda

bu dagi kompleks funksiya va mult indekslarni
Bilan tartiblangan yig'indining bosh ko'rsatkichini bildiradi.
koeffitsient ( ) dagi kompleks funksiya orqali aniqlanadi.
Differensial formaning tashqi ko'paytmasi va quyidagi formalar yordamida aniqlanadi.

Ravshanki formaning darajasi .(Agar bo'lsa, yozamiz )
Agar dagi farqli kompleks qiymatli funksiyani aniqlasa, biz uni quyidagicha aniqlaymiz.

bu birinchi darajali forma hisoblanadi.Uholda biz musbat darajali formani umumlashtiramiz.Agar dagi darajali forma bo'lsa, u holda

Bu yerda koeffitsientlari (1.5.3) orqli aniqlanadi.Ravshanki, ning darajasi
Agar darajasi musbat bo'lsa, ya'ni skalyar funksiya bo'lmasa, operatorning tashqi ko'paytmasi differensial formani ifodalaydi.Xususan quyidagini qanoatlantiradi (Cartan 1970)

EXERCISES

1. 
   chiziqli akslantirish berilgan bo'lsin.Agar , bilan aniqlanishi mumkin bo'lgan matritsa
   

Bu yerda lar haqiqiy yozuvi.U holda

Ushbu vektorlarni yoza olamiz .Agar chiziqli bo'lsa ni ko'rsatishimiz kerak, faqat agar va (Koshi Riman tenglamasi bilan solishtiring).Isbotlashimiz kerak va bo'lsa u holda,

Hisob kitoblardan (bu yerda ) golomorf bo'ladi, faqat ekanligidan