|
=X К***” *+ (2.33)
куринишда ифодаланиши керак. Агар С атомдан ташкил топган занжирча цррапса, у \олда:
(2.34)
ч
Бунда я„=-У(7е'Ло'.
Атомлар занжирчасининг кинетик энергияси Ек =— ^ и 2„, по-
2 л=|
о о ^
тснциал энергияси Е , = у £ ( « „ - и „.,) . (2.34) ифодадпн фойда-
ланиб занжирчанинг т^ла энергиясини
Е = Е * +
куринишга келтирилади. = ад + а'ч, рц = т о . ( а ч - а\) бел-
- ^ -
гилашлар киритсак,
Ч '•2т
х ва р 9 -<тхч катгаликлар нормал координаталар ва уларга
к^шма импулслар вазифасини бажаради. Демак, бир Улчовли кри сталл энг умумий харакати тУла энергияси Е нормал тебраниш- лар энергиялари йишндиси сифатида ифодаланади.
2 .3 Уч улчовли мутмккаб кристалл панжараси атомлари тебралвшшрн
Бир улчовли (чизишй) кристалл панжараси атомлари тебра- нишларининг асосий хоссалари фазовий панжара атомлари теб- ранишларига хам тегишлидир. Аммо фазовий панжара тебраниш- ларига хос хусусияглар мавжуд. Биз энди уч улчовли (фазовий) мураккаб кристаллни кдрайлик. Унинг элементар катагида 5 та тк (к=1,2,.,„я) турли массаларга эга булган атомлар булсин. к-
атомнинг л-элементар катакдаги вазияги
г ; - а . + г* (г ад
булсин, бунда а„ = + п2а2 + п3а3 — тУфИ панжара вектори,
г* - к- атомнинг элементар катак ичидаги вазиягини аникутовчи радиус-вектор. Шу к- атомнинг мувозанатий вазиятидан силжи-
шини иЦ, унинг гугри бурчакли координата системасидаги таш-
кил этувчиларини й^( а = х, у , I ) деб белгилаймиз.
Кристалл ичида ажратиб олинган куп й сонли зарраларни Уз ичига олган со\анинг N элементар катагида ЬЫ та иЦа силжиш- лар булади, силжишлар булмаганда = 0 , потенциал энергия Е
( ЪЕ.
минимал (энг кичик) булади, яьни Эи*т О . Яна
Е пот(и*а = 0) = 0 деб хисоблаймиз. Бу ХОДДа силжишлар функ- цияси булмиш Е ^ и ^ ) потенциал энергияни даражалари
буйича каторга ёямиз:
Ш-
<Фг
бунда,
д2Е . к = 0,
Ссф Э и ^ Э и й = 0
\ = о,
д 3Е.
С ф Э«^Эм*.рЭмя*к"^ Й«'Р = 0,
п"1 Иияк:.? = 0.
Гармоник такрибда, яьни атомлар Узаро таъсир кучлари квази аластик деб гдасобланган *олда (2.37) ёйилмада биринчи йигандвдан боища цамма \адларни ташлаб юбориш керак:
Е‘■'пот = —*ч у (2.37’)
* ПП
Мазкур со*а атомлари кинетик энергияси йишндиси
Е кин 4 х**(Оа- (2.38)
пка
Квадратик (2.37) кУринищда ифодаланган ЕпяОпЩш дан силжиш б^йича олинган \осила мос квази эластик кучни аник/юйди:
«//■па* _ _ ' пот
диЧ.
Гармоник тафибда царалаётган атомларнинг классик \аракат тенгламалари, бинобарин,
т , ¿ 2и* Э £ „_ ■-VЕ1 с Ла- <2-39>
<*2 дик„
кУринищца булиб (»=1,2,3,....Л; *=1,2,3,- Л =х,ул), улар 3*И та номаълум ы*„ учун ЗлЖ та дифференциал тенгламалар системаси- ни ташкил килааи. Бу \одда ^ам тенгламалар ечимини
и* = 1 А^(д)е1^ ~ м) (2.40)
чопувчи т^лк?1Нлар куринишнаа тасвирлаймиз.
— А к — турли атомлар хили учун турли булган —= = А к— ком-
ф пк V"1*
плекс амплитуда ташкил этувчилари, д = —- п0 - тул^ин вектор
✓ А
( п0- ясси тулк,инга нормалнинг бирлик вектори), ы = о)(д) ~ о)й-
такрорийлик.
Бу масалани ечишдан келиб чицадиган асосий натижаларга
тухталамиз:
А) Бир улчовли панжара тебранишлари хрлидагидек, д ва
ц = ц + ЬК (бунда тескари панжара вектори />х = g^b^ + g2b1 +gib3) векторлар тавсифлайдиган тулкинлар бир бири билан айнандир, яъни
< а (я ') = <Ля)- (2-41)
Буни ап ва В векторлар ташкил этувчилари орасидаги богланишлар асосида исботлаш осон. Демак, ^ га боглик, булган барча катгаликлар лаврий узгаради, бунда а„ = ва ЬК = Ь{ кичик кийматларни к^бул к,илсак, «7’ = (¡а, + 2л тенглик келиб
чикади. Демак, фазовий панжара тебранишларини та\лил
кил ганда <$а, нинг цийматларини
- я < <7'а ,< + я (/ = 1,2,3) (2.42)
ораликда царалса булади. Бу учта тенгсизликлар q — фазодаги би- рор \ажмни ифодалайди. Уни биринчи Бриллюэн зонаси дейилади.
Кубик кристалл учун (я , ~ аг = а3; а1 1 а2,а 2 -1- <*з) (2.42) тенгсизликлар учта
- ~ < ц а < + - (2-43)
а а
шаклни олади. Бу \олда биринчи Бриллюэн зонаси \ажми
V = ("_) V булади, бунда = а 3 элементар катак \ажми. Бош^а
I а )
кристалл панжара учун килинган \исоб \ам худай шундай, яъни
www.ziyouz.com kutubxonasi
VB = -1—— ифодани беради (албатта, У0 — элементар катак
о
>;ажми турли панжаралар учун \ар хил).
Б) (2.40) ечимпарни (2.39) тенгламаларга ц^йсак, номаълум /4* амплитудалар учун 3sN та бир жинсли чизигий тенгламалар система-
си \осил булади. Унинг маънили ечимлари мавжуд булиши учун но- маъпумлар олдидаги купайтувчилардан тузилган аник/ювчи (детер минант) нолга тенг булиши зарур.
Уни ечишдан о)2 га нисбатан 3.? да- ражали тенглама \осил булади. Бу тенгламанинг 3.9 ечимига мос равиш- да фазовий панжара атомлари тебра- нишларииинг 3s тармоги мавжуд булади.
Бу тармок^арнинг факрт 3 таси акустик, 35-3 таси оптик тармок^тар
булади 2.7-чиама. Уч улчоапи панжара
Агар крисгаллнинг элементар ^ниш ларп тармо^ри.
катагида 1 атом булса, фацат учта акустик тармок мавжуд булади, агар элементар катакда 2 атом (.9=2) булса, 3 та акустик ва 3 та оп тик тармок, булади ва \окозо.
\ар бир тармоедаги тул^инларнинг бири б^йлама (1 ёки L
\арфи билан белгиланади), иккитаси кундаланг (/ ёки Т \арфи билан белгиланади) булади.
В) <7 нинг функцияси булмиш o)j \ам даврий узгаради:
о)j ( g + Ьк ) = (о j ( q ) (2 .44 )
Бунда А/ — ихтиёрий тармок, белгиси.
Г) <итакрорийлик q нинг жуфт функцияси
( O j(- q ) = ( O j( q ) (2 .45 )
By (Oj ифодаларига q нинг факат жуфт даражалари киради демакдир.
Д) Бриллюэн зонасидаги \ар бир тебранишлар тармоги учун
Q}j(q) = const сиртлар ясаш мумкин. Бу бир хил такрорийликни ёки
бир хил энергиили ha)j(q) = E (q ) сиртларнинг тузилиши кристалл туфи панжараси симметриясига му\им даражада борлик;.
В) 2.7- чизмадан куринишича, О, А, С ва С нукгаларда ай- ниш мавжуд, яъни бу ну^галарда бир неча тармо^лар кесишади.
Яна шуни айтиш керакки, C0j ( g) нинг экстремумлари Брилллюэн
зонаси маркази ва чегараларида хрм, унинг баьзи ички нук^аларида (2.7- чизмада М ва М' нукгаларда) ?(ам уринли булиши мумкин.
Ж) Бу х,олда \ам кристалл асосий сохрси сиртидаги чегаравий
шартларни Борн- Карман шартлари билан алмапггирилади.
3) q-фазонинг кичик *ажмига турри келган тебранишлар сони
булади, бунда V — кристалл со^аси \ажми, dVq = dqxdqydqt эса q- фазодаги кичик *ажм. Бир тармокдаги тебранишлар тула сони
^ N , барча тармоклардаги тебранишлар тула сони г=3sN, яъни асо сий со\а атомлари эркинлик даражалари сонига тент (N — со^адаги элементар ячейкалар сони, бир атомнинг эркинлик да- ражаси 3 та деб \исобланади).
Do'stlaringiz bilan baham: |
