Áиринчи боб

Теорема 27. f : ХY, g : YZ - гомеоморфизмлар бўлса, f g : XZ ќам гомеоморфизмдир.
Исбот. f ва g акслантиришларнинг узлуксизлигидан теоремага кўра f g акслантириш ќам узлуксиздир. Улар топологик акслантиришлар бўлганлиги учун уларга тескари акслантиришлар ќам узлуксиздир. Шунинг учун (f g)^-1f^-1 g^-1 акслантириш узлуксиздир. Теорема исботланди.
Теорема 28. f: X У - узлуксиз акслантириш , Х -компакт фазо, Y - Хаусдорф фазоси ва f га тескари акслантириш f^-1 мавжуд бўлса, f - гомеоморфизмдир.
Исбот. Теоремани исботлаш учун f^-1 нинг узлуксизлигини кўрсатиш керак. Бунинг учун ихтиёрий очиқ GX - тўпламнинг f^-1 акслантиришга нисбатан прообрази Y да очиқ эканлигини кўрсатишимиз керак. Агар G - очиқ бўлса, Х\G ёпиқ тўпламдир. Х\Gнинг f^-1 га нисбатан прообрази f(Х\G)тўпламдан иборат. Х\G ёпиқ ва Х компакт бўлганлигидан 12-теоремага кўра Х\G компакт, 21-теоремага кўра f(Х\G) ќам компакт. Y хаусдорф фазоси бўлганлиги учун 14-теоремага кўра f(Х\G ) ёпиқ тўпламдир. f(G )Y\f(Х\G) тенгликдан f(G) нинг очиқлиги келиб чиқади. Теорема исботи тугади.
Ýíäè 16-òåîðåìà èñáîòèãà қàéòàéëèê.
Бу теорема исботини, агар компакт фазолар бўлса, қоида билан аниқланган акслантиришда (проекция) ёпиқ тўпламнинг образи ёпиқ тўплам эканлигини кўрсатишдан бошлаймиз.
F тўплам ХУ тўђри кўпайтманинг ёпиқ қисм тўплами бўлсин. Унинг образи нинг Х топологик фазода ёпиқ тўплам эканлигини кўрсатиш учун унинг тўлдирувчиси G нинг очиқ тўплам эканлигини кўрсатишимиз керак. Бунинг учун нуқтани қарайлик.Бу нуқта учун муносабат бажарилади. очиқ тўплам бўлгани учун ихтиёрий учун жуфтлик бирорта атрофи билан да ётади. Бу ерда нуқтанинг Х даги атрофи ва муносабатни қанотлан­тиради.Очиқ тўпламлар иборат оиладан учун чекли қобиқ ажратиш мумкин.Биз тўпламларга мос келувчи нуқтанинг атрофларини кўринишда белгиласак,уларнинг кесишмаси очиқ тўплам бўлади ва муносабатни қаноатлантиради.Демак, G очиқ тўпламдир. Бундан эса prF нинг ёпиқ тўплам эканлиги келиб чиқади.
Энди аãàð {U_a} îèëà À òўïëàìíèíã î÷èқ қîáèђè áўëñà, óíäàí À  ó÷óí ÷åêëè қîáèқ àæðàòèø ìóìêèíëèãèíè èñáîòëàø êåðàê.Биз умумийликни чегараламаган ҳолда ва тенгликлар бажарилган деб ҳисоблаймиз.Очиқ қобиққа тегишли ҳар áèð  ó÷óí U_U_¹  U_² êўðèíèøäà áўëàäè. Áó åðäà U_¹X, U_²Y î÷èқ òўïëàìëàðäèð. Áèðîðòà A íóқòà ó÷óí { }  B òўïëàìíè қàðàéëèê. { }  B òўïëàì  ãà ãîìåîìîðô áўëãàíëèãè ó÷óí êîìïàêò òўïëàìäèð.Øóíèíã ó÷óí U_ îèëàäàí {õ}  B ó÷óí ÷åêëè қîáèқ àæðàòèø ìóìêèí. òўïëàìëàð { }  B ó÷óí { U_} äàí àæðàòèëãàí ÷åêëè қîáèқ áўëñà, очиқ тўплам бўлганлиги учун унинг тўлдирувчиси F =ХY\G ёпиқ тўпламдир. Юқорида исботлаганимизга кўра ёпиқ тўпламдир. А тўплам нинг тўлдирувчи бўлса ,у А В G муносабатни қанотлантиради. Демак, оила А В учун ќам { U_} дан ажралган чекли қобиқдир. Энди {A :  A} оила А тўплам учун қобиқ ва А компакт бўлганлиги учун ундан А учун чекли қобиқ ажратиш мумкин. Бу оиладан А учун ажралган чекли қобиқ тўпламлардан иборат бўлсин. Демак . Бироқ ќар бир учун { U_} дан чекли қобиқ ажратиш мумкин. Лекин бўлганлиги учун { U_} дан А  В учун ќам чекли қобиқ ажратиш мумкин. Демак, А В компакт тўпламдир.

Бу қисм охирида математикада муќим роль ўйнайдиган топологик акслантиришлардан бири бўлган стереографик проекцияни киритамиз.

Б

изга уч ўлчамли R³ евклид фазосида бирорта сфера берилган бўлсин. Бу сферани S² билан, сфера билан битта умумий нуқтага эга бўлган текисликни П билан, уларнинг умумий нуқтасини S билан белгилайлик. Энди сферанинг S нуқтасига диаметрал қарама – қарши жойлашган нуқтасини N билан белгилаб, сферанинг N нуқтадан бошқа ќамма нуқталари тўплами билан П текислик нуқталари орасида гомеоморф мосликни ўрнатмоқчимиз. Бунинг учун сферанинг N дан фарқли М нуқтаси учун NM тўђри чизиқнинг П текислик билан кесишиш нуқтасини Р_м билан белгилаб P:S² \ {N}П акслантиришни P(M)=P_M қоида билан аниқлаймиз.