Áиринчи боб

Теорема-1. Ќар қандай содда эгри чизиқ ёки элементар эгри чизиқдир, ёки айланага гомеоморфдир.
Энди чизиқлар оиласини яна кенгайтирамиз.
Бунинг учун умумий эгри чизиқ тушунчасини киритамиз. содда эгри чизиқ, эса унга тегишли нуқта бўлсин. Агар тўплам нинг атрофи бўлса, ни нинг даги атрофи деб атаймиз. Натижада, топологик фазога айланади. (I-бобдаги келтирилган топология тушунчасига қаранг).
Бизга локал топологик акслантириш берилган бўлса, (яъни ихтиёрий учун унинг даги шундай атрофи мавжуд бўлиб, топологик акслантириш бўлса), тўплам умумий эгри чизиқ дейилади. Қуйидаги чизмаларда, содда эгри чизиқ бўлмайдиган умумий эгри чизиқлар кўрсатилган.



Чизма-3 Чизма-4

Бундан кейин, курс давомида биз эгри чизиқ деганда, элементар эгри чизиқни, содда эгри чизиқни ёки умумий эгри чизиқни тушунамиз. Умумий эгри чизиқларнинг таърифига кўра у ўзига тегишли иќтиёрий нуқтанинг етарли кичик атрофида элементар эгри чизиқнинг топологик акслантиришдаги образидир.

Шунинг учун, умумий эгри чизиқни ќам ихтиёрий нуқтасининг атрофида кўринишдаги параметрик тенгламалар ёрдамида бериш мумкин. Табиийки, агар бизга тенгликлар
системаси берилган бўлса, бу система бирорта эгри чизиқнинг параметрик тенгламалари системаси бўладими, деган савол туђилади. Бу саволга қисман қуйидаги теорема жавоб беради.
Теорема-2: Силлиқ функциялар ќоси­лалари ќар бир учун шартни қано­атлантирса,

тенгламалар системаси умумий эгри чизиқни аниқлайди.
Бу умумий эгри чизиқ интервалнинг акслантиришдаги образидир.
Исбот: Биз етарли кичик учун да акслан­тиришнинг топологик акслантириш эканлигини кўрсатамиз. Бунинг учун эса етарли кичик учун нинг ўзаро бир қийматли эканлигини кўрсатиш етарлидир.
Бу фактни тескарисини фараз қилиш ёрдамида исботлаймиз. Фараз қилайлик, ќар қандай кичик учун ќам акслантириш ўзаро бир қийматли бўлмасин, кетма-кетлик нолга интилувчи кетма-кетлик бўлсин. Фаразимизга кўра, ихтиёрий учун лар мавжуд бўлиб, ва шартлар бажарилади.
Ўрта қиймат ќақидаги теоремага кўра, шундай лар мавжуд бўлиб, тенгликлар бажари­лади. кетма-кетлик нолга интилгани учун кетма-кетликлар да га интилади. Ќосилалар узлуксиз бўлганлиги учун юқоридаги тенгликлардан лимитга ўтиб, тенгликларни ќосил қиламиз. Бу эса теорема шартига зиддир. 
Энди координаталар системаси киритилган текисликда

тенгламани қарайлик. Координаталари бу тенгламани қаноатлантирувчи нуқталар бирорта эгри чизиқни аниқлаши мумкин, ёки аксинча аниқламаслиги ќам мумкин.