Áиринчи боб

Теорема - 21. Х , Y - топологик фазолар, f:XY узлуксиз акслан­тириш, А  Х - компакт тўплам бўлса , f(A) ќам компакт тўпламдир.
Исбот. Очиқ тўпламлардан иборат {U_a} оила f(А ) тўпламнинг очиқ қобиђи бўлсин.Теорема шартига кўра f узлуксиз акслантириш бўлганлиги учун V_f^-1(U_) тўплам ќамма лар ó÷óí очиқ тўплам бўлади. f(A) муносабатдан  A муносабат келиб чиқади. Демак, {V_a} оила А учун очиқ қобиқ бўлади. А компакт тўплам бўлганлиги учун бу қобиқдан чекли қоплама ажратиш мумкин. Ажратилган чекли қоплама элементлари тўпламлар бўлсин. Шунда уларнинг об­разлари тўпламлар f(А) тўплам учун {U_a} оиладан ажратилган чекли қобиқни ташкил этади. 
Теорема-22. Х, У - топологик фазолар, f:XY узлуксиз аксланти­риш, АХ - бођланишли тўплам бўлса, f(A) ќам бођланишли тўпламдир.
Исбот. Агар f( А ) бођланишсиз тўплам бўлса , бўш бўлмаган очиқ G₁ ва G₂ тўпламлар мавжуд бўлиб, f(A)(f(A)G₁)(f(A)G₂), f(A)G₁)(f(A)G₂)= ва f(A)G₁, f(A)G₂ муносабатлар бажа­рилади. Акслантириш f узлуксиз бўлганлиги учун А₁f^-1(G₁) ва А₂f^-1(G₂) тўпламлар Х нинг очиқ қисм тўпламлари бўлади.
Бундан ташқари f(A)G₁ ва f(A)G₂ муносабатлардан A₁A ва A₂A келиб чиқади. Бундан ташқари А(A₁A)(A₂A) муносабат ќам ўринлидир. Демак А áођланишсиз. Бу зиддият теоремани исботлайди. 
Теорема - 23. Ёпиқ кесма I [а,b] бођланишли тўпламдир.
Исбот. Фараз қилайлик [а,b] бођланишсиз бўлсин. У ќолда очиқ ва бўш бўлмаган U₁ ва U₂ тўпламлар мавжуд бўлиб, I (IU₁)(IU₂), IU₁, IU₂ ва (IU₁)(IU₂) муносабатлар ўринли бўлади.
Энди I ни топологик фазога айлантирамиз. Бунинг учун I нинг қисм тўплами А учун R¹ да очиқ G тўплам мавжуд бўлиб , АIG бўлса , А ни очиқ тўплам деб эълон қиламиз. Ќосил бўлган I нинг очиқ қисм тўпламлари оиласи I да топологияни ќосил қилади ва топологик фазîга айланади. Бу топологияда I ва  ќам очиқ тўпламдир. Агар I бођланишсиз бўлса I да очиқ ва бўш бўлмаган U₁,U₂ тўпламлар мавжуд бўлиб U₁U₂= ва I U₁U₂ муносабатлар бажарилади. Энди

қоида билан берилган акслантиришни қарайлик. Агар GR¹- очиқ тўплам бўлса

тенглик ўринлидир.  , U₁ , U₂, I тўпламлар очиқ бўлганлиги учун 20 - теоремага кўра f узлуксиз функциядир. Коши теоремасига кўра функция 0 ва 1 оралиђидаги ќамма қийматларни қàбул қилиши керак. Бу зиддият теоремани исботлайди. 
Х - топологик фазо, f:[0,1]X - узлуксиз акслантириш бўлсин. Бу ерда I [0 , 1] кесмадаги топология юқоридаги 23 - теорема исботидаги êàáè евклид топология ёрдамида аниқланади. Агар f(0), f(1 ) бўлса, биз ва нуқталар f йўл ёрдамида туташтирилган деб атаймиз. Агар А  Х - қисм тўпламнинг ќар қандай икки нуқтасини шу тўпламда ётувчи йўл ёрдамида туташтириш мумкин бўлса , А тўплам чизиқли бођланишли тўплам дейилади.