Áиринчи боб

Теорема - 14. Х - хаусдорф фазо, А  Х - компакт тўплам бўлса , А ёпиқ тўпламдир.
Исбот. А нинг ёпиқ эканлигини кўрсатиш учун Х\А нинг очиқ эканлигини кўрсатамиз. Агар Х\А бўлса, 11-теоремага кўра шундай очиқ G тўплам мавжудки, х G  X\A муносабат бажарилади. Демак , нуқта Х\А учун ички нуқта ва нинг ихтиёрий эканлигидан Х\А нинг очиқ тўплам эканлиги келиб чиқади.
Теорема - 15. ХRⁿ , AX - бўлса, А нинг компакт тўплам бўлиши учун А нинг ёпиқ ва чегараланган тўплам бўлиши зарур ва етарли .
Исбот. Зарурлиги. Метрик фазода тўплам бирорта шар ичида ётса, у чегараланган тўплам дейилади. А компакт тўплам бўлса, Rⁿ нинг хаусдорф фазо эканлигидан А нинг ёпиқ тўплам эканлиги келиб чиқади (теорема-14). Энди А нинг чегараланганлигини кўрсатайлик. Бунинг учун бирорта А нуқтани олиб, маркази шу нуқтада бўлган {B_n( )} шарлар оиласини қараймиз, бу ерда n  1, 2 ,... . Áу шарлар оиласи А учун очиқ қобиқ бўлади ва А компакт бўлганлиги учун бу оиладан чекли қобиқ ажратиш мумкин. Агар чекли қобиқ шар­лардан иборат бўлса, N билан {n_i} ни белгилаймиз. Áó åðäà B_n( ) ìàðêàçè íóқòàäà, ðàäèóñè n áўëãàí î÷èқ øàð. Бу ќолда А В_N( ) эканлигидан А нинг чегараланганлиги келиб чиқади.
Етарлилиги. Теореманинг етарлилигини исботлаш учун , Rⁿ да Q_r{ R : | |  r } кубнинг компактлигини исботлаймиз. Бунинг учун эса ишни ёпиқ кесманинг компактлигини исботлашдан бошлаймиз.
Лемма 1. [ a , b ] - компакт тўпламдир.
Исбот. { U_} - оила [ a , b ] сегментнинг очиқ қобиђи бўлсин. Агар  [a , b ] ва [ a , ] сегмент учун чекли қобиқ мавжуд бўлса , бундай нуқталар тўпламини À билан белгилаймиз. Равшанки , À бўш эмас,чунки а  À. Бундан ташқари, áèðîðòà ₀ ó÷óí a áўëñà, а íóқòà ўçèíèíã áèðîðòà àòðîôè áèëàí äà ¸òàäè. Øóíèíã ó÷óí À тўпламга а нуқтадан бошқа нуқталар ќàì тегишли. Демак, агар с  sup { :  À } бўлса, ñ > a эканлигè равшан. сsup{ : À} áўëãàíëèãè ó÷óí [а, ñ-] ñåãìåíò ó÷óí ÷åêëè қîáèқ ìàâæóä. Àãàð [а, ñ-] ñåãìåíòíèíã ÷åêëè қîáèђèãà с тегишли бўлган òўïëàìíè қўøñàê, [а,ñ] ó÷óí ÷åêëè қîáèқ ќîñèë áўëàäè. Äåìàê, ñÀ. Ýíäè ñb ýêàíëèãèíè èñáîòëàéëèê. Àãàð ña,ñ] ñåãìåíòíèíã ÷åêëè қîáèђè [а,ñ] ó÷óí ќàì ÷åêëè қîáèқ áўëàäè. Áó ýñà ñ íèíã àíèқëàíèøèãà çèääèð. Демак, c=b. Лåììà èñáîòëàíäè.
Лемма-2. Ёпиқ куб Q_r{ Rⁿ | |  r} компактдир.
Исбот. Ёпиқ куб Q_r ни n та [-r , r ] сегментнинг тўђри кўпайтмаси сифатида ёзамиз. Шунда лемма-2 иккита компакт тўпламнинг тўђри кўпайтмаси компакт тўплам эканлигидан келиб чиқади. Бу фактни қóéèäàãè òåîðåìà êўðèíèøäà ¸çèá, êåéèí÷àëèê èñáîòëàéìèç.