Áиринчи боб

Теорема-11. Бођланишлилик компонентаси ёпиқ тўпламдир.
Исбот. Н тўплам нуқта тегишли бўлган áођланишлилик компонентаси бўлсин. 8-теоремага кўра - áођланишли тўпламдир. Компонента таърифига кўра  дан Н  келиб чиқади. Демак, Н ёпиқ тўпламдир. 
II. Компакт тўпламлар. (Х , ) - топологик фазо, АХ - қисм тўплам ва бирорта {A_} -очиқ тўпламлар оиласи берилган бўлсин. Берилган оила учун А муносабат бажарилса {A_} оила А тўпламнинг очиқ қобиђи деб аталади. Агар қобиқ чекли сондаги тўпламлардан иборат бўлса, у чекли қобиқ деб аталади.
Таъриф. А тўпламнинг ихтиёрий очиқ қобиђидан чекли қобиқ ажратиш мумкин бўлса, А тўплам компакт тўплам деб аталади.
Табиийки , бу таърифда агар А  Х бўлса , унда биз компакт фазо таърифини оламиз. Фақат бу ерда {A_} оила Х учун қобиқ бўлса, унда A муносабат ўрнига  X тенглик ёзилади.
Теорема - 12. Х - компакт фазо, АХ - ёпиқ тўплам бўлса, А - компакт тўпламдир.
Исбот. {A_} - îèëà À тўплам учун очиқ қобиқ бўлсин. А ёпиқ бўлганлиги учун Х\А î÷иқ тўплам ва {A_}{ X\A } оила Х учун қобиқ бўлади. Х компакт фазо бўлганлиги учун {A_}{ X\A } оиладан Х учун чекли қобиқ ажратиш мумкин. Ажратилган чекли қобиққа тегишли қисм тўпламлар F₁, F₂,..,F_k бўлсин. Агар { F_i }₁^k оилада Х\А тўплам бўлмаса , {F_i } оила {A_} äàí ажратилган А нинг чекли қобиђи бўлади. Агар {F_i } оилада Х\А бўлса , унда бу оиладан Х \ А ни чиқариб, А учун чекли қобиқ хосил қиламиз. Демак, А компакт тўпламдир. Теорема исботланди.
Теорема - 13. Х - хаусдорф фазо, А  Х - компакт тўплам ва Х\А бўлса, шундай очиқ кесишмайдиган G₁ ва G₂ тўпламлар мавжудки, ÀG₁, G₂, бўлади.
Исбот. А га тегишли ихтиёрий у нуқтани олсак, Хаусдорф аксиомасига кўра шундай очиқ кесишмайдиган G , G тўпламлар мавжудки G_x,yG бўлади. { G : А} оила А тўплам учун очиқ қобиқ бўлади ва А компакт бўлганлиги учун бу оиладан А учун чекли қобиқ ажратиш мумкин. Ажратилган чекли қобиққа тегишли тўпламлар лар бўлсин. Бу очиқ тўпламлар билан кесишмайдиган х нуқтанинг атрофëàðи мос равишда G ( ₁), G ( ₂),...G ( _m) òўïëàìëàð áўëñèí. Агар G₁ ,G₂ G ( _i) бўлса , равшанки АG₁, G₂ ва G₁G₂ муносабатлар бажарилади.