Áиринчи боб

§ 3. Метрик фазолар
Метрик фазолар топологик фазоларнинг жуда муќим синфини ташкил этади. Бу фазоларда ихтиёрий икки нуқта учун улар орасидаги масофа тушунчаси киритилади. Метрик фазоларíèíã муќим турлари билан сиз биринчи курсда танишãàíсиз.
Х - ихтиёрий тўплам, тўђри кўпайтма Х Х да
:ХХR¹ функция аниқланган бўлиб, қуйидаги шартларни қаноатлантирсин :

1. 
   ( , )  0,  , Х
   
2. 
   ( , )0    , Х
   
3. 
   ( , ) ( , )  , Х
   
4. 
   ( , ) ( , ) ( , )  , , Х
   

Юқоридаги шартлар метрик фазо аксиомалари дейилади. Бу шартлар бажарилса (Х,) жуфтлик метрик фазо дейилади. (Х,) - метрик фазо, Х, r>0 бўлса маркази нуқтада ва радиуси r га тенг очиқ шар U_r( ) қуйидагича аниқланади:
U_r( ){уХ : ( , )<r}.
Очиқ шар ёрдамида метрик фазода очиқ тўплам тушунчасини киритиш мумкин. AX -қисм тўплам, Х бўлиб бирорта r>0 сон учун U_r( )A бўлса нуқта А тўпламнинг ички нуқтаси дейилади. Ќамма нуқталари ички нуқталар бўлган тўплам очиқ тўплам дейилади. Aгар  оила сифатида (Х, ) метрик фазонинг ќамма очиқ қисм тўпламлари ва бўш тўпламдан иборат оилани олсак, натижада (Х,) жуфтлик топологик фазога айланади. Бу топология (Х,) фазода  метрика ёрдамида киритилган топология деб аталади. Энди  оиланинг топологик фазо аксиомаларини қаноатлантиришини текширайлик.
1) Х ва r ихтиёрий сон бўлса, U_r( )X бўлганлиги учун Х тўплам  оиласига тегишлидир;

2. 
   Бўш тўплам  га бу оиланинг аниқланишига кўра тегишлидир;
   
3. 
   А₁, A₂ бўлсин. Агар А₁А₂ бўлса, иккинчи шартга кўра А₁А₂. Фараз қилайлик, А₁А₂ ва хАА₁А₂, áўëñèí. А₁, âà А₂ òўïëàìлар очиқ бўлганлиги учун шундай r₁ ва r₂ мусбат сонлар мавжудки, , муносабатлар бажари­лади. Агар 0<rr₁,r₂} бўлса, U_r( )AА₁А₂ муносабат бажарилади. Демак , AА₁А₂ тўплам  оилага тегишлидир;
   

4){А_} -  га тегишли тўпламлар оиласи бўлсин. A_  эканлигини кўрсатайлик. Бунинг учун АUA_ нуқтани қарайлик. нуқта йиђиндига тегишли бўлганлиги учун шундай индекс ₀ мавжудки,  муносабат бажарилади. тўплам очиқ бўлганлиги учун шундай r>0 сон мавжудки, муносабат бажарилади.
Демак,  оила топологик фазо аксиомаларини қаноатлантиради.
6 - Мисол. ХR¹ , ( , )| - |
7 - Мисол. XRⁿ , ( , )
Бу ерда ( ¹, ²,..., ⁿ) , ( ¹, ²,..., ⁿ).
8-Мисол. ХС[a ,b ] билан [a,b] сегментда аниқланган узлуксиз функциялар тўплами белгилаймиз. Бу тўпламда (t) , (t) функциялар учун
r( , ) sup| (t)- (t)| ôормула бўйича метрикани
^t[a,b]
аниқлаймиз. Бу ќолда r учун метрик фазо аксиомаларини текшириш енгил, шунинг учун бу ишни ўқувчиларга ќавола этамиз.
Энди метрик фазо учун ички, чегаравий ва уриниш нуқталарини киритайлик.
АХ - қисм тўплам, X бўлиб, ихтиёрий r>0 учун U_r( )A , U_r( )(X\A)  бўлса, нуқта А тўпламнинг чегаравий нуқтаси дейилади. Агар ихтиёрий r>0 учун фақат U_r( )A  муносабат бажарилса, нуқта А тўпламнинг уриниш нуқтаси дейилади. Áèðîðòà r>0 ñîíè ó÷óí U_r( )A ìóíîñàáàò áàæàðèëñà, íóқòà À ó÷óí è÷êè íóқòà äåéèëàäè.
Метрик фазолар шундай бир ажойиб хусусиятга эгаки, бу хусусият Хàусдорф аксиомаси деб аталади (Х, )-метрик фазо,
, Х ва  бўлсин Агар d ( , ), 0< r< d2 бўлса, U_r( ) U_r( ) шарлар ўзаро кесишмайди. Биз топологик фазолар учун ќам Хаусдорф аксиомасининг бажарилишини талаб қиламиз. Бу аксиома қуйидагича таърифланади.