Áиринчи боб

I. Бођланишли тўпламлар.
(Х,) - топологик фазо, А Х - қисм тўплам бўлсин. Иккита очиқ G₁ ва G₂ қисм тўпламлар мавжуд бўлиб,
1) А (АG₁)(AG₂)
2) (АG₁)(AG₂)
3) АG₁, АG₂.
шартлар бажарилса, А тўплам бођланишсиз тўплам дейилади. Агар бу шартларни қаноатлантирувчи G₁ ва G₂ очиқ тўпламлар мавжуд бўлмаса, А тўплам бођланишли тўплам дейилади.
А  Х ќолни қарайлик. Бу холда ÕG₁G₁, ХG₁G₂ бўлганлиги учун юқоридаги шартлар қуйидаги кўринишда ёзилади.
1^I)Х  G₁G₂
2 ^I)G₁G₂
3 ^I)G₁, G₂.
Демак , агар 1 ^I), 2 ^I), 3 ^I) шартларни қаноатлантирувчи очиқ G₁ ва G₂ қисм тўпламлар мавжуд бўлса, Х ни бођланишсиз топологик фазо деб атаймиз. Акс холда, яъни бу 1 ^I) ,2 ^I), 3 ^I) шартларни қаноатлантирувчи G₁, G₂ тўпламлар мавжуд бўлмаса, Х ни бођланишли топологик фазо деб атаймиз.
Теорема-8. Бођланишли тўпламнинг ёпиђи ќам бођланишли тўпламдир.
Исбот. (Х,) - топологик фазо, АХ - бођланишли қисм тўплам бўлсин. Агар áођланишсиз тўплам бўлса, очиқ G₁ âà G₂ қисм тўпламлар мавжуд бўлиб, қуйидаги
(G₁  )(G₂  )
(G₁  )  (G₂  )
G₁  , G₂  ,
муносабатлар бажарилади.  бўлганлиги учун,
(G₁ )ÀG₁A, (G₂ )ÀG₂A À(G₁A)(G₂  A),
тенгликлар ўринлидир.
G₁ ва G₂ очиқ тўпламлар, G₁ , G₂  бўлганлигидан, G₁A ва G₁A муносабатлар келиб чиқади ва ниќоят (G₁ )(G₁ ) тенгликдан (G₁A)(G₁A) тенглик келиб чиқади. Бу муносабатлар биргаликда А нинг бођланишсиз тўплам эканлигини кўрсатади. Бу зиддиятдан тўпламнинг бођланишли эканлиги келиб чиқади.