Áиринчи боб

Теорема-24. Чизиқли бођланишли тўплам бођланишли тўпламдир.
Исбот. Х - топологик фазо , АХ - чизиқли бођланишли тўплам бўлсин. Таърифга кўра, А га тегишли ихтиёрий , нуқталар учун узлуксиз f:IХ - акслантириш мавжуд бўлиб, f(0) , f(1) ва f(I) А бўлади. Агар А бођланишсиз тўплам бўлса , очиқ бўш бўлмаган G₁ ва G₂ тўпламлар мавжуд бўëиб À(AG₁)(AG₂), AG₁, AG₂ муносабатлар бажарилади. AG₁ тўпламдан нуқтани, AG₂, тўпламдан нуқтани олайлик. А чизиқли бођланишли бўлганлиги учун f:IХ йўл мавжуд бўлиб , f(0) ,f(1) ва I[0,1] учун f(I )А бўлади. Юқорида исбот қилинган теоремаларга кўра f(I)f([0,1]) бођланишли тўпламдир. Лекин А(AG₁)(AG₂) тенгликдан f(I)(f(I)G₁) (f(I)G₂), тенглик оламиз. хf(I)G₁, f(I)G₂ бўлганлигидан f(I)G₁, f(I)G₂ келиб чиқади. Бундан f(I) áођланишсиз тўплам эканлиги келиб чиқади. Бу зиддият А áођланишëè тўплам эканлигини кўрсатади. 
Умуман, áођланишли тўплам чизиқли áођланишли бўлмаслиги мумкинлигини қуйидаги мисол кўрсатади.
Мисол.
ХR², A{(x, y)R²: y  sin(1/x), 0}
{( x, y):  0 , -1 < y < 1 }
бўлсин. Равшанки, А бођланишли, лекин чизиқли áођланишли эмас.
Теорема-25 Х-топологик фазода чизиқли бођланишли тўпламлар оиласи учун бўлса, йиђинди ќам чизиқли бођланишлидир.
Исбот. Берилган тўпламлар йиђиндиси бўлган тўпламга тегишли х, у нуқталарни йўл билан туташтириш мумкинлигини кўрсатамиз. Бунинг учун нуқтани оламиз, ва , бўлсин деб фараз қилайлиқ. Шунда , муносабатлар ўринли бўлгани учун х ва у ларни а билан мос равишда f₁, f ₂ йўллар ёрдамида туташтирамиз. Шунда

формула билан аниқланган g йул учун g(0)=x, g(1)=y тенгликлар ўринли бўлади.
Энди бу теоремадан фойдаланиб, X топологик фазонинг а нуқтаси учун унинг чизиқли бођланишлилик компонентаси тушунчасини кирита­миз. Берилган а нуқта тегишли бўлган ќамма чизиқли бођланишли тўпламлар йиђиндиси юқоридаги теоремага кўра чизиқли бођланишли тўплам бўлади. Ана шу тўпламни а нуқтанинг чизиқли бођланишлилик компонентаси деб атаймиз ва L(a) билан белгилаймиз.