Áиринчи боб

Теорема-26. Бођланишли Х топологик фазонинг ќар бир нуқтаси чизиқли бођланишли атрофга эга бўлса, Х чизиқли бођланишли фазо бўлади.
Исбот. Топологик Х фазонинг а нуқтаси учун L(a) тўпламни қарайлик. Бу тўпламнинг очиқ тўплам эканлигини кўрсатайлик. Агар bL(a) бўлса, V(b) билан b нуқтанинг чизиқли бођланишли атрофини белгилаймиз. Шунда бўлади. Демак L(a) очиқ тўпламдир. Энди L(a) тўплам учун тенгликни исботлайлик. Бунинг учун b нуқта олиб, уни а нуқта билан йўл орқали туташтириш мумкинлигини кўрсатамиз. Уринма нуқта таърифига кўра, b нуқтанинг ќар бир атрофида L(a) тўпламга тегишли нуқталар бор. Агар V(b) тўплам b нуқтанинг бирорта чизиқли бођланишли атрофи бўлса, бу атрофда L(a) тўпламга тегишли нуқталар бор. Демак а нуқта b билан йўл орқали туташтириш мумкин. Бундан bL(a) келиб чиқади. Бундан L(a) тўпламнинг ёпиқ тўплам эканлиги келиб чиқади. Берилган X топологик фазо бођланишли бўлганлиги учун ќар қандай бўш бўлмаган бир вақтда очиқ ва ёпиқ бўлган тўплам X билан устма-уст тушади. Демак X=L(a), ва X чизиқли бођланишдир.


Топологик акслантиришлар
(Гоìåоморфизмлар)

Узлуксиз акслантиришлар ичида бизнинг курсимиз учун муќим акслантиришлардан бири топологик акслантиришдир. Топологик акслан­тириш гоìåоморфизм деб ќам аталади. Бу параграфда топологик акс­лантириш тушунчасини киритиб, мисоллар келтирамиз âа унинг биз учун зарур асосий хоссаларини келтирамиз.

X, Y - топологик фазолар, f:XY - акслантириш берилган бўл­син. Агар f акслантиришга тескари акслантириш f^-1 мавжуд ва f, f^-1 акслантиришлар узлуксиз бўлса, f топологик акслантириш ёки гоìåоморфизм деб аталади.
Топологик акслантиришга энг содда мисол қилиб f( ) қоида билан аниқланган айний f:ХХ акслантиришни олишимиз мумкин.
Топологик акслантириш таърифидан бевосита келиб чиқадики, агар f топологик акслантириш бўлса, бунга тескари акслантириш f^-1 ќам топологик акслантириш бўлади. Энди f учун тескари акслантириш мавжуд бўлиши учун зарур ва етарли шартларга эътибор берайлик. Тескари акслантириш Y нинг ќар бир нуқтасига Х нинг битта нуқтасини мос қўяди. Демак, ихтиёрий У учун бирорта Х мавжуд бўлиб, f( ) тенглик ўринли бўлиши керак. Бунинг учун эса f(Х)Y бўлиши, яъни f устлама акслантириш бўлиши керак. Бундан ташқари f^-1 тескари акслантириш У нуқтага битта Х нуқтани мос қўйганлигидан ₁ ₂ бўлганда f( ₁)f( ₂) бўлиши, яъни ўзаро бир қийматли акслантириш бўлиши зарурдир.
Шундай қилиб, f га тескари акслантириш f^-1 мавжуд бўлиши учун f нинг устлама ва ўзаро бир қийматли акслантириш бўлиши зарур ва етарли. Агар Х ва Y топологик фазолар учун f:ХY òîïîëîãèê акслан­тириш мавжуд бўлса, Х ва Y топологик фазîлар ўзаро гомеоморф ёки топологик эквивалент фазолар деб аталади. Топологик фазоларнинг топологик акслантиришда сақланиб қоладиган (яъни биридан иккинчи­сига ўтадиган) хоссаларè топологик хоссалар деб аталади. Топология фанида топологик фазоларнинг, геометрик фигураларнинг топологик хоссалари ўрганилади.
Энди бир нечта мисоллар келтирайлик.
Мисол. 1. Х( а ,b ), Y( с , d ) бўлиб, Х, Y фазоларда топология R¹ даги топология ёрдамида аниқланади. Шунда f:ХY акслантиришни f( ) формула ёрдамида аниқласак, f гомеоморфизм бўлади, чунки f чизиқли функция, узлуксиз ва унга тескари функция ќам узлуксиздир.
2. Х , Y[-1,-1], f( )sin бўлсин. Бизга маълумки, f( )sin узлуксиз ва унга тескари функция arcsin [-1,1] да аниқланган ва узлуксиздир. Шунинг учун ХY гомеоморфизмдир.
3. Х , YR¹ бўлса, f ( )tg гомеоморфизм бўлади.
4. Ихтиёрий (а, b) интервал R¹ га гомеоморфдир. Бу ерда гомеоморфизм f( )tg формула ёрдамида аниқланади.

5. Текисликда D²={(x,y): x²+y²2} очиқ доира текисликка гомеоморфдир.

Бу ерда

формула билан акслантиришни аниқласак, f гомеоморфизм бўлади. Буни текширайлик. Бу акслантиришнинг узлуксизлиги
,
функциялариинг узлуксизлигидан келиб чиқади. Энди унга тескари акслантириш мавжуд ва узлуксизлигини кўрсатайлик. Тескари акслантиришни

формула билан аниқлаймиз. Бу акслантиришнинг узлуксизлиги

функцияларнинг узлуксизлигидан келиб чиқади. Энди аксланти­риш хақиқатан ќам f га тескари акслантириш эканлигини кўрсатайлик. Бунинг учун тенгликни исботлаймиз:

Демак, f акслантиришдир гомеоморфизмдир.
6. Rⁿдаги ихтиёрий Dⁿ очиқ шар Rⁿ га гомеоморфизмдир. Буни кўрсатиш учун Rⁿ да координата бошини Dⁿ шарнинг марказига жойлаштириб декарт координаталар системасини киритиб акслантиришни

формула билан аниқлаймиз. Бу ерда , R – шарнинг радиусидир.
Тескари акслантириш

формула ёрдамида аниқланади. Иккала f, f^-1 акслантиришлар ќам узлуксиз бўлганлиги учун f гомеоморфизмдир.
Энди топологик акслантиришнинг баъзи бир муќим хоссаларини келтирайлик. Топологик акслантиришнинг таърифидан бевосита ќар қандай топологик акслантириш учун унга тескари акслантириш ќам топологик акслантириш эканлиги келиб чиқади.