Áиринчи боб

Чизма-1.
Энди бу акслантиришнинг гомеоморф акслантириш эканлигини исботлайлик. Бунинг учун R³да координата бошини сфера марказига жойлаштириб OZ ўқини ON тўђри чизиқ бўйича йўналтириб декарт координаталар системасини киритамиз. Шунда

бўлиб, П текислик z+R=0 тенглама билан аниқланади. Энди сфера нуқталарининг координаталари x, y, z билан, П текислик нуқталарининг координаталарини X, Y белгилаб, P акслантириш учун формула ќосил қиламиз. Сферадаги М(x₀, y₀, z₀) ва N(0, 0, R) нуқталардан ўтувчи тўђри чизиқ П текислик билан
нуқтада кесишади. Шунинг учун

акслантириш
формула
билан берилади. Бу ерда
, (1)
функциялар узлуксиз бўлганлиги учун узлуксиз акслантиришдир.
Энди P акслантиришга тескари P^-1 акслантиришни топиш учун N(O,O,R) ва Q(X,Y,-R) нуқталардан ўтувчи тўђри чизиқнинг сфера билан кесишиш нуқтасини топамиз. Бу кесишиш нуқталари N(O,O,R) ва M(x,y,z) нуқталар бўлиб, M нуқтанинг координаталари
(2)
кўринишга эга бўлади. Демак (2) формулалар акслан­тиришни аниқлайди.
(2) системадаги x(X, Y), y(X,Y), z(X, Y) функциялар X, Y ларнинг узлуксиз функцияларидир. Шунинг учун P^-1 акслантириш узлуксиздир. Қуйидаги 2-чизмада сферани z=c, |с|
Чизма-2.
I - бобга доир машқ ва масалалар

1. 
   Mетрик фазода ќар қандай яқинлашувчи кетма кетликнинг фундаментал эканлиги кўрсатилсин.
   
2. 
   Х метрик фазода Y тўплам ёпиқ бўлиши учун Y даги нуқталардан иборат барча яқинлашувчи кетма-кетликларнинг лимити Y га тегишли бўлиши зарур ва етарли эканлиги исботлансин.
   
3. 
   Х метрик фазода ихтиёрий тўпламнинг ёпиђи ёпиқ тўпламлиги кўрсатилсин.
   
4. 
   Метрик фазода (х_n ) кетма-кетлик лимитга эга бўлса, унинг лимити ягоналиги исботлансин.
   
5. 
   R¹ да ичма-ич жойлашган, узунлиги нолга интилувчи ёпиқ кесмалар кетма-кетлигининг кесишмаси бўш эмаслиги кўрсатилсин.
   
6. 
   R¹ да тўплам очиқ бўлиши учун у ўзаро кесишмайдиган, чекли ёки саноқли сондаги очиқ интервалларнинг бирлашмасидан иборат бўлиши зарур ва етарли эканлиги исботлансин.
   
7. 
   R² да битта нуқтасини чиқариб ташлагандан сўнг очиқ бўлиб қоладиган ёпиқ тўпламга мисол келтиринг.
   
8. 
   Шундай очиқ тўпламлар системасига мисол келтирингки, уларнинг кесишмаси очиқ бўлмаган тўпламдан иборат бўлсин.
   
9. 
   Шундай ёпиқ тўпламлар системасига мисол келтирингки, уларнинг бирлашмаси ёпиқ бўлмаган тўпламдан иборат бўлсин.
   
10. 
    Текисликда айлана бе­рилган. Айланадаги n  ( -иррационал сон), n , бурчакка мос келувчи нуқталар тўпламини А билан белгилаймиз, =S¹ бўлиши исботлансин.
    

11. X топологик фазо ва А бўлса, қуйидагилар исботлансин.
1) = А А
2) (А В) А В

3. 
   
   
4. 
   
   

5) (Х\А)=

6. 
   
   
7. 
   
   

12. Таъриф. Х -топологик фазо, А ва =Х бўлса, А ќамма ерда зич дейилади. (Х, ) топологик фазо, Y₁,Y₂ бўлсин. Агар Y₁ ,ва Y₂ лар ќамма ерда зич бўлса, Y₁ Y₂ ќам ќамма ерда зич эканлиги исботлансин.
13. Таъриф. Агар Х топологик фазога тегишли ќар бир нуқтанинг атрофлари учун саноқли база мавжуд бўлса, Х да саноқлиликнинг I-аксиомаси бажарилган дейилади. Х- топологик фазонинг саноқли базаси мавжуд бўлса, Х да саноқлиликнинг 2-аксиомаси бажарилган дейилади. Саноқлиликнинг иккинчи аксиомаси бажарилган топологик фазода саноқлиликнинг биринчи аксиомасини бажарилиши кўрсатилсин.
14. Rⁿ да очиқ шарнинг ёпиђи ёпиқ шар, сфера эса очиқ ќамда ёпиқ шарларнинг чегараси эканлиги исботлансин.
15. Х тўпламдаги ихтиёрий топологиялар оиласининг кесишмаси Х да топология бўлиши кўрсатилсин.
16. Х тўпламни иккита ёпиқ тўпламларнинг айирмаси кўринишида тасвирлаш мумкин бўлиши учун, тўпламнинг ёпиқ бўлиши зарур ва етарли эканлиги исботлансин.
17. А тўплам ёпиқ бўлиши учун, А=A\intA бўлиши зарур ва етарли эканлиги исботлансин.
18. Топологик фазо ва А тўплам берилган бўлсин. А ёпиқ бўлиши учун унинг барча лимит нуқталари A га тегишли бўлиши зарур ва етарли эканлиги исботлансин.
19. Таъриф. Х- топологик фазонинг саноқли ва ќамма ерда зич қисм тўплами мавжуд бўлса, Х-сепарабел топологик фазо дейилади. Метрик фазо сепарабел бўлиши учун унда саноқлиликнинг иккинчи аксиомаси бажарилиши зарур ва етарли эканлилиги кўрсатилсин.
20. А учун бўлганда, фақат ва фақат шу ќолдагина А тўпламнинг очиқ бўлиши исботлансин.
21. Узлуксиз акслантиришларнинг суперпозицияси узлуксиз акслантириш бўлиши исботлансин.
22. Х,Y топологик фазолар, ƒ:X Y узлуксиз, биектив акслантириш берилган бўлсин. Агар Х да ажралган нуқта мавжуд бўлмаса, у ќолда Y да ќам ажралган нуқта мавжуд эмаслиги исботлансин.
23. Х, Y топологик фазолар, ƒ:X Y акслантириш берилган бўлсин, ƒ-акслантиририш узлуксиз бўлиши учун Y топологик фазодаги ихтиёрий G ёпиқ тўпламнинг прообрази ƒ^-1 (G) ёпиқ бўлиши зарур ва етарли эканлиги кўрсатилсин.
24. ƒ: узлуксиз акслантириш камида битта қўзђалмас нуқтага эгалиги исботлансин.
25. Тескариси узлуксиз бўлмаган ўзаро бир қийматли узлуксиз акслантиришга мисол келтиринг.
26. Х,Y топологик фазолар, ƒ:X Y узлуксиз акслантириш берилган бўлсин G={(x, ƒ(x))} тўплам ƒ акслантириш графиги дейилади. G тўпламнинг Х га гомеоморфлиги исботлансин.
27. Х,Y топологик фазолар, ƒ:X Y акслантириш берилган. ƒ акслан­тириш узлуксиз бўлиши учун қуйидаги шартнинг бажарилиши за­рур ва етарлилиги исботлансин. Х учун ƒ .
28. (Х,d) метрик фазо бўлса, d(x, y) функция XхХ да узлуксиз эканлиги исботлансин.
29. Х,Y топологик фазолар, ƒ:X Y акслантириш берилган бўлсин. ƒ узлуксиз бўлиши учун қуйидаги муносабатнинг бажарилиши зарур ва етарлилиги исботлансин. Y учун ^-1
30. Тўђри чизиқдаги иќтиёрий 2 та очиқ (ёпиқ) интервал ўзаро гомеоморфлиги исботлансин.
31. Х,Y топологик фазолар берилган. ХY нинг Х га проекцияси узлуксиз, очиқ ва ёпиқ акслантириш эканлиги исботлансин.
32. Rⁿ да ёпиқ шар ва ёпиқ куб гомеоморфлиги кўрсатилсин.
33. Локал бођланишли бўлмаган,бођланишли топологик фазога мисол келтиринг.
34. R¹ да локал бођланишсиз чексиз қисм тўпламга мисол келти­ринг.
35. Чизиқли бођланишли бўлмаган бођланишли тўпламга мисол келтиринг.
36. Агар А ва В бођланишли бўлиб, А бажарилса,у ќолда бођланишли бўлишини исботланг.
37. ¹ тўплам бођланишли бўлиши учун унинг интервал­дан иборат бўлиши зарур ва етарли эканлиги кўрсатилсин.
38. Бођланишли топологик фазонинг узлуксиз акслантиришдаги образи бођланишли тўплам бўлиши исботлансин.
39. Rⁿ бођланишли фазо эканлиги исботлансин.
40. Х топологик фазо ягона бођланишлилик компонентасидан иборат бўлиши учун, Х бођланишли фазо бўлиши зарур ва етарли эканлиги кўрсатилсин.
41. Чизиқли бођланишли, лекин локал чизиқли бођланишли бўлмаган топологик фазога мисол келтиринг.
42. Ќар қандай компакт фазо локал компакт бўлиши исботлансин.
43. (Х,d) компакт метрик фазода ўзаро кесишмайдиган, ёпиқ A ва B тўпламлар берилган бўлсин. У ќолда, d(A,B)>0 эканлиги исботлансин.
44. Х метрик фазода бўш бўлмаган компакт тўпламлар берилган бўлиб, улар ва шартларни қаноатлантир­син. У ќолда - тўплам битта нуқтадан иборатлиги исботлансин. d(A) - А тўпламнинг диаметри.
45. X,Y топологик фазолар ƒ:X Y узлуксиз, биектив акслантириш бе­рилган бўлсин. Агар X компакт ва Y Хаусдорф фазоси эканлиги маълум бўл­са, у ќолда ƒ топологик акслантириш (гомеоморфизм) эканлиги исботлансин.
46. Х компакт фазо ва ƒ: X R¹ узлуксиз функция эканлиги маълум бўлса, ƒ функциянинг чегараланганлигини ва Х да ўзининг энг катта ва энг кичик қийматларига эришиши исботлансин.
47. Х тўла метрик фазо ва АХ бўлсин. А тўплам нисбий компакт бўлиши учун (яъни компакт тўплам) А нинг чегараланган қисм фазо бўлиши зарур ва етарли эканлиги исботлансин.