Áиринчи боб

Исбот. Зарурлиги. B{ } оила база, Х ва U тўплам нинг атрофи бўлсин. U очиқ бўлганлиги учун B ãa тегишли тўпламлар йигиндисидан иборат ва улардан бирортаси албатта ни ўз ичига олади.
Етарлилиги. Â{ } оила теорема шартларини қаноатлантирса, унинг база эканлигини кўрсатайлик. Ихтиёрий очиқ А тўпламни қарайлик. Агар aА бўлса , теорема шартига кура  Â мавжуд бўлиб ,
а   A муносабат бажарилади. Шунинг учун
А бўлади. Теорема исботланди.
Теîрема -18. ( Х ,) топологик фазода B{ } оила база бўлса , қуйидаги муносабатлар ўринли :
1)  X

2. 
   Ихтиёрий , тўпламлар ва ихтиёрий а  нуқта учун мавжуд бўлиб, а   муносабат бажарилади.
   

Исбот. Бу ерда 1) муносабат базанинг таърифига кўра равшан бўлганлиги учун 2) муносабатни кўрсатамиз. Агар а   бўлса,  очиқ тўплам эканлигидан 1-теоремага кўра мавжуд бўлиб , а   муносабатлар бажарилади.
Теорема-19. Х ихтиёрий тўплам, Â{U_}-қисм тўпламлар оиласи учун
1) U_ X ;
2) B ;
3)Ихтиёрий , тўпламлар ва ихтиёрий а  íóқòà шундай мавжудки а   шартлар бажарилса, Х тўпламда шундай ягона  топология мавжудки (Х ,  ) топологик фазо учун B оила база бўлади.
Исбот. Х тўпламда  оилани қуйидагича аниқлаймиз. B оилага тегишли тўпламларни ва уларнинг йигиндисидан иборат ќамма қисм тўпламларни  оилага киритамиз. Теореманинг 1) ва 2) шартларига кўра Х ва бўш тўплам  оилага тегишли бўлади. Бундан ташқари  нинг аниқланишига кўра унга тегишли тўпламларнинг йиђиндиси  га тегишли. Демак, А₁, А₂  бўлса, А₁А₂  ни кўрсатишимиз керак. Агар aА₁А₂ бўлса, теореманинг 3-шартига кўра U_aB мавжуд ва а  А₁  А₂ бўлади. Демак, А₁А₂ = . Бу эса А₁А₂  эканлигини билдиради. 