Áиринчи боб

Хаусдорф аксиомаси. (Õ,) - топологик фазо, , X ва  бўлса, ва нуқталарнинг ўзаро кесишмайдиган атрофлари мавжуд.
Хаусдорф аксиомаси бажарилган топологик фазолар Хаусдорф фазолари дейилади. Биз бу ќақида алоќида таъкидламасдан курс давомида ќамма топологик фазолар учун Хаусдорф аксиомаси бажарилган деб фараз қиламиз. Юқорида таъкидлаганимиздек, метрик фазоларда бу аксиома ќар доим бажарилган.
Энди топологик фазоларга қайтайлик. (Х, ) - топологик фазо { _n}X, n1,2,... ва Х бўлсин. нуқтанинг ихтиёрий U атрофи учун шундай сон N>0 мавжуд бўлиб , n> N да _nU муносабат бажарилса, { _n}- кетма-кетлик нуқтага яқинлашади дейилади ва (ёки ) кўринишда ёзилади.
Tеорема-7. Хаусдорф фазосида ќар қандай яқинлашувчи кетма-кетлик ягона лимитга эгадир.
Исбот. { _n}-яқинлашувчи кетма-кетлик ва lim _n бўлсин. Агар _n ва  бўлса, U₁ ва U₂ билан мос равишда ва нуқталарнинг ўзаро кесишмайдиган атрофларини белгилаймиз (Хаусдорф аксиомаси ). { _n} - кетма-кетлик ва нуқталарга яқинлашганлиги учун шундай N₁, N₂ сонлар мавжудки, n  N₁ äа _nU₁, n N₂ да _nU₁ бўлади. Бундан n  max { N₁ , N₂} бўлса, _nU₁U₂ муносабатни оламиз. Демак, U₁U₂. Бу зиддиятдан  бўлиши келиб чиқади. 
§ 4. Бођланишли ва компакт тўпламлар