Моделлаштириш назариясининг умумий қоидалари Физик моделлаштириш-бу … 7

Нуқталар динамикасининг иккита асосий масаласи

5.3. Нуқталар динамикасининг иккита асосий масаласи

Нуқта динамикасининг асосий тенгламасига мувофиқ
2 2 (5.5)
иккита масала кўриб чиқилади:
- Биринчи масала: берилган ҳаракат тенгламасига кўра нуқтага таъсир этувчи куч аниқланади (тескари масала).
- Иккинчи масала: ҳаракат тенгламалари маълум бир куч учун топилади (тўғридан-тўғри масала).
Тескари масаланинг ечиш дифференциаллашни, унинг ечим эса интеграцияни талаб қилади. Дифференциал тенгламалар назарияси дифференциал тенгламаларнинг ўнг томонларининг аналитик хусусиятлари, яъни параметрларининг функцияси сифатида кучнинг хусусиятлари тўғрисида жуда кенг тахминлар остида ечимларнинг мавжудлиги ва ўзига хослигини (берилган дастлабки шартлар учун) кафолатлайди. Математикада қўлланиладиган функциялар ёрдамида ёпиқ шаклда дифференциал тенгламалар тизимининг умумий ечимини топиш ҳар доим ҳам мумкин эмас. Сабаби: дифференциал тенгламалар билан аниқланган функциялар синфи математикада ишлатиладиган функцияларнинг чекланган комбинацияси синфидан кенгроқдир.
Ҳаракат тенгламаларини интеграциялашнинг математик қийинчиликлари билан боғлиқ ҳолда, юқоридаги тенгламаларнинг биринчи интегралларини топиш алоҳида аҳамиятга эга. Биринчи интеграллар ҳаракат ҳақида у ёки бу аниқ маълумотни ўз ичига олади.
Ҳаракатнинг дифференциал тенгламаларининг биринчи ажралмас қисми тенглик деб аталади.
(5.6)
бу ерда c- ҳаракатланувчи нуқтанинг координаталарини, уларнинг вақт бўйича ҳосиласини (тезлик проекцияларини) ва эҳтимол вақтни функционал равишда боғлайдиган ихтиёрий доимий (константа). Масалан, +k x=0 юкнинг пружинада тебранишлар тенгламаси шаклдаги биринчи интегралга мос келади.
Ҳаракатнинг олтита мустақил биринчи интеграллари фазодаги нуқта ҳаракати ҳақида тўлиқ маълумот беради. Ҳақиқатан ҳам, олтита тенгламани ечиш
i, i=1,2,3,4,5,6. (5.7)
Биз олтита вақтида боғлиқ функцияларини ва олти константаларга с_1, с₂, с₃, с₄, с₅, с₆ интеграцияларга эга бўламиз. Шундай қилиб, нуқта тезлигининг проекциясидаги кинематик ҳаракат тенгламалари тўлиқ аниқланади. Константалар берилган дастлабки ҳаракат шартларига мувофиқ топилади.
Иккинчи интеграл тенглик
^1,c2,c3, ^(5.8)
Нуқтанинг ҳаракати ҳақида тўлиқ маълумотга эга бўлиш учун иккинчи учта интегрални билиш етарли. Унинг x, y, z координаталари вақтнинг функсиялари ва олтита интеграллаш константаси сифатида таърифланиб, улар одатдагидек ҳаракатнинг бошланғич шартлари билан топилади.
Ҳаракат тенгламасининг биринчи ва иккинчи интегралларининг бир қисми унинг мавжудлигини фазо ва вақт хусусиятларига боғлиқ. Улар моддий нуқталарнинг ҳар қандай ёпиқ тизими (ёпиқ механик тизим) учун содир бўлади ва шу маънода улар универсалдир.