Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

II BOB
GIPERGEOMETRIK TENGLAMALAR
2.1. Darajali qator yordamida hisoblanadigan Gaus
tenglamasi
3-ta’rif. Ushbu
(21)
tenglamaga gipergeometrik tenglama yoki Gaus tenglamasi deyiladi, bu yerda - berilgan o’zgarmas sonlar.
Bu tenglamani integrallash uchun Bessel tenglamasini integrallashda qo’llagan usulni tadbiq qilamiz, ya’ni uning yechimini

ko’rinishda izlaymiz. Gaus tenglamasi uchun aniqlovchi tenglama bo’lgani uchun) ko’rinishga ega bo’lib, bundan . Demak (21) tenglamaning, ning qiymatiga mos birinchi xususiy yechimi musbat darajali qator ko’rinishda ya’ni,
(22)
ko’rinishda bo’ladi. Izlanayotgan yechimning kerakli tartibli hosilalarini hisoblab, (21) ga qo’yib, ning oldidagi koeffisiyentini nolga tenglashtiramiz :

bundan
(23)
ixtiyoriy va bo’lgani uchun, umumiylikka ziyon yetkazmay deb olamiz, hamda (23) dan


larni topamiz. Shuni ta’kidlash lozimki koeffisiyentlar aniq topilishi uchun c nol va manfiy butun son bo’lmasligi kerak. Demak topilgan koeffisiyentlarni (22) ga qo’yib, (21) tenglamaning birinchi xususiy yechimini topmiz, bu yechimga gipergeometrik qator deyiladi va bu yechim:

ko’rinishda bo’ladi.
(21) tenglamaning, ga nisbatan ikkinchi xususiy yechimini topishdan avval, (21) tenglamada
(*)
almashtirish bajarib, bu tenglamani
(24)
ko’rinishda yozish mumkin, ya’ni (21) tenglamadagi parametrlar parametrlarga o’zgardi. Demak (24) tenglamaning bir xususiy yechimi bo’ladi.
Shunday qilib, (*) ga asosan (21) tenglamaning ikkinchi xususiy yechimi

bo’ladi.
Xullas, c- butun son bo’lmaganda, (21) tenglamaning umumiy yechimi

bo’ladi.
Eslatma. Agar (21) tenglamada c- butun son bo’lsa, aniqlovchi tenglama ildizlari orasidagi ayirma nol yoki butun son bo’ladi, bu holda (21) tenglama umumiy yechimida logarifmik had qatnashadi.