Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

3-misol. Ushbu

Lejandr³ tenglamasining xususiy yechimini toping.
Yechish. Lejandr tenglamasida bajaramiz, u holda

topilganlarni berilgan tenglamaga qoyib,

yoki tenglamani hosil qilamiz . Bu tenglama (21) ko’rinishdaga Gaus tenglamasi bo’lib, bu yerda va . Bu tenglamaning bitta xususiy yechimi , yani Lejandr tenglamasining bir xususiy yechimi ( almashtirishga asosan)

bo’ladi. Tekshirib ko’rish mumkinki,

ya’ni
(25)
Lejanr polinomi gipergeometrik funksiyaning ( bo’lgan) xususiy holi bo’ladi.
4-misol.Tenglamani yeching:

dastlabki shartlar bilan .Tenglamaning yechimini shaklda izlaymiz

olingan ifodalarni asl tenglamaga almashtiramiz.
Bu yerdan biz olamiz:

Bu almashtirish orqali olamiz boshlang’ich sharoitlar kerakli funksiya va uning birinchi hosilasi uchun ifodalarga:

Nihoyat ,biz olamiz

jami :

Differensial tenglamalrni qatorlar yordamida yechishningyana bir usuli mavjud .Bu nomga ega ketma-ketlik farqlash usuli.Keling, xuddi misolni ko’rib chiqaylik .Differensial tenglama yechimini Maklerun qatori yordamida noma’lum funksiyaning kengayishi ko’rinishida izlaymiz.
Agar berilgan dastlabki shartlar asl differensial tenglamaga almashtirsak, biz buni olamiz

Keyinchalik, differensial tenglamani shaklda yozamiz

va biz uni ketma-ket farqlaymiz.

Olingan qiymatlarni almashtirgandan so’ng biz quyidagilarni olamiz:

Koshi mezoni(ketma- ketliklarning yaqinlashish uchun zarur va yetarli shartlari)
Ketma- ketlik uchun
₍₂₆₎
Konvergent edi, bu har qanday uchun zarur va yetarli
₍₂₇₎
Raqam bor edi,qaysidan kichik ,va har qanday , bu yerda butun son bo’lsa quyidagi tengsizlik amal qiladi:
₍₂₈₎
keyin istalgan raqam uchun tengsizlik bo’ladigan N soni mavjud
₍₂₉₎
uchun bajarildi. va har qanday butun uchun tengsizlik ham o’rinli bo’ladi.
₍₃₀₎
Ikkala tengsizlikni hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz.Ehtiyoj isbotlangan.Biz yetrali isborni ko’rib chiqamaymiz.
Seriya uchun koshi mezoni:raqam olish uchun
₍₃₁₎
Konvergent zarur va yetarli
₍₃₂₎
biroq amalda, Koshi mezonidan bevosita foydalanish juda qulay emas.Shuning uchun, qoida tariqasida, oddiyroq kovergensiya mezonlari qo’llaniladi.
Natija.Agar -uzluksiz funksiyalar oraliqda va
₍₃₃₎
keyin integrallar
₍₃₄₎
Kovegensiya nuqtai nazaridan shunday yo’l tutadi.
Trigonometrik qator .