Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

1.2. Darajali qator yordamida hisoblanadigan Bessel
tenglamalari
2-ta’rif. Ushbu
(14)
tenglamaga Bessel(1) tenglamasi deyiladi, bu yerda n-berilgan o’zgarmas son. Umuman aytganda bu tenglama bilan aniqlangan Bessel funksiyalarini elementar funksiyalar yordami bilan ifoda qilibbo’lmaydi. Bessel tenglamasi ikkinchi tartibli chiziqli tenglama bo’lganidan uni to’liq intervallash uchun ikkita va erkin xususiy yechimlarni bilish kifoya qiladi.
Ma’lumki nuqta (14) tenlama uchun maxsus nuqta bo’lib, bu nuqta atrofida tenglamani quyidagi
(15)
ko’rinishda yozib olsak, ((1) ga asosan ) , bo’ladi. (15) tenglamaga mos aniqlovchi tenglama (10) ko’rinishda bo’lib, (10) ga asosan , bo’ladi. Demak, (9) ko’ra aniqlovchi tenglama yoki ko’rinishda bo’lib, bu tenglama yechimlari bo’ladi. (14) Bessel tenglamasining birinchi xususiy yechimini ( da)
(16)
umumlashgan qator ko’rinishda izlaymiz. va larni (14) tenglamaga qo’yib, ba’zi soddalashtirishlardan ga qisqartirishdan so’ng

tenglamani olamiz. Bundan, ning turli darajalari oldidagi koeffisiyentlarini nolga tenglamani
(17)
(17) dagi birinchi munosabatdan ixtiyoriy qiymat qabul qilishi mumkinligi ma’lum, ikkinchi munosabatdan esa ni olamiz. Qolgan koeffisiyentlarni ham keyingi munosabatlardan quyidagi aniqlaymiz:


Matemetik analiz kursidan ma’lumki, ( bu yerda Eylerning gamma funksiyasi).
koeffesiyentlarni soddaroq holda yozish uchun ni tanlaymiz, hamda gamma funksiyaning

xossasidan foydalamiz. Demak
.
Shunday qilib, Bessel tenglamasining birinchi xususiy yechimi
₍₁₈₎
ko’rinishga ega bo’ladi. Bu funksiyaga Besselning birinchi turdagi tartibli funksiyasi deyiladi.
(14) Bessel tenglamasining ikkinchi xususiy yechimini
(19)
ko’rinishda izlaymiz. Ma’lumki, (14) tenglamada juft daraja bilan qatnashadi, ya’ni ni ga almashtirish natijasida tenglama o’zgarmaydi, demak ikkinchi xususiy yechimni, (18) da ni ga almashtirish orqali hosil qilish mumkin.
Shunday qilib, ikkinchi xususiy yechim
₍₂₀₎
ko’rinishga ega bo’ladi, va bu funksiyaga Besselning birinchi turdagi - tartibli funksiyasi deyiladi. Agar butun son bo’lmasa (18) va (20) yechimlar chiziqli erkli bo’ladi, chunki yig’indi, faqat da nolga teng bo’ladi. Demak bu holda Bessel tenglamasining umumiy yechimi bo’ladi. Agar butun son bo’lsa, (n-butun son) tenglik bajarilgani uchun (18) va (20) yechimlar chiziqli bog’liq bo’ladi. Demak
butun son bo’lsa, yechimdan boshqa bilan chiziqli erkli bo’lgan yechim izlash kerak. Bu yechimni
ko’rinishda izlaymiz, bu yerda -cheksiz kichik son. funksiyaga
Besselning ikkinchi turdagi - tartibli funksiyasi deyiladi. Shunday
qilib, butun son bo’lmaganda (4) Bessel tenglamasining umumiy yechimi

bo’ladi.
2-misol. tenglamani darajali qatorlar yordamida
integrallang.
Yechish. Berilgan tenglama (14) ko’rishdagi tenglama bo’lib, bu yerda bo’ladi. maxsus nuqtada berilgan tenglama uchun aniqlovchi tenglama yoki ko’rinishga ega bo’lib, karrali ildizga ega bo’ladi. Demak berilgan tenglamaning bitta xususiy yechimi darajali qator ko’rinishda ikkinchi xususiy yechimi esa funksiyani o’z ichiga olgan bo’lib, u (13) ko’rinishda izlanadi. Demak birinchi xususiy yechimni

ko’rinishda izlaymiz va deb qabul qilib, (17) dan ( da) qolgan noma’lum koeffisiyentlarni topamiz:
.

Demak berilgan tenglamaning birinchi xususiy yechimi

ko’rinishga ega bo’ladi.
funksiyaga Besselning birinchi turdagi - tartibli funksiyasi deyiladi.