Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

2.2. Oddiy differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash usulini amaliyotda qo’llash
Agar funksiya nuqtaning atrofida analitik bo’lsa, ya’ni va ning darajalari bo’yicha qatorga yoyilsa, u holda tenglamaning boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan yechimi ham analitik funksiya bo’ladi, ya’ni nuqtaning atrofida darajali qatorga yoyiladi. Xuddi shunday tasdiq boshlang’ich shartlari
bo’lgan tenglama uchun ham o’rinlidir.
Quyidagi masalalarning har birida berilgan boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradigan yechimni darajali qator ko’rinishida izlang. Qatorning dastlabki bir necha ( darajalar oldidagi) koeffitsientlarini hisoblang.
5-misol.
Aniqlanishiga ko’ra, izlanayotgan yechim bo’lishi kerak. funksiya nuqtaning atrofida o’zgaruvchilar bo’yicha analitik funksiyadir, shuning uchun bu masalaning ko’ri-nishdagi analitik yechimi mavjud. Berilgan tenglamani ko’ri-nishda yozib, so’ngra qatorni shu tenglamaga qo’yamiz:

.
ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlarni bir-biriga tenglashtirib, sonlarga nisbatan tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

shartga ko’ra, U holda hosil bo’lgan sistemaning tenglama-laridan ketma-ket topamiz:

Shunday qilib, taqribiy yechim

ko’rinishda bo’ladi.
6-misol.
funksiyani nuqtaning atrofida o’zgaruvchilar bo’yicha darajali qatorga yoyamiz:

So’ngra, boshlang’ich shartni e’tiborga olib, yechimni
.
qator ko’rinishida izlaymiz. Bu qatorni

tenglamaga qo’yib va ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlarni bir-biriga tenglashtirib, sonlarga nisbatan tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:
.
Bu yerdan koeffitsientlarni topamiz:

shunday qilib, qo’yilgan masalaning yechimi

ko’rinishda bo’ladi.


XULOSA
Differensial tenglamalar kursida chiziqli differensial tenglamadan boshlab yuqori tartibli tenglamalargacha bo’lgan tenglamalarni turli xil usullarda yechishni o’rganamiz. Xususan darajali qatorlar orqali integrallash ham shular jumlasidandir. Bu kurs ishida darajali qatorlar yordamida bir necha tur differensial tenglamalarni yechilishi haqida ma’lumotlar berildi. Ularga doir misollar yechilishi bilan ko’rsatildi.
Noma’lum funksiyalar va ularning hosilalarini o’z ichiga olgan tenglamani birinchisidan kattaroq quvvatda yoki qandaydir murakkab va oddiy formulalar bilan ifodalash qiyin bo’lgani sababli ,zamonaviy nazariyaning muhim qismi ularning xatti-harakatini sifatli tahlil qilishga bag’ishlangan.tenglamalarni yechmasdan umuman yechilmalarni tabiati haqida narsani aytishga imkon beradigan usullarni ishlab chiqish, masalan ,ularning barchasi cheklangan yoki xususiyatga ega yoki ma’lum tarzda bog’liq koeffitsiyentlar.Kurs ishi jarayonida differensial tenglamalarni quvvat va umumlashtirilgan darajali qatorlar yordamida integrallash usulini tahlil qilindi.kurs ishi da belgilangan maqsadlarda to’liq erishildi,quyidagilarni hal qilindi:Differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida yechish usuli ko’rib chiqildi.
Ushbu mavzudagi muommolar hal qilindi.Ushbu kurs ishida o’quv materiallar o’rganilib, talabalar tomonidan differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallash usulini mustaqil o’rganish jarayonini qo’llash usuli.Ishdan texnik va matematika mutaxasislari talabalari uchun asos bo’lib xizmat qiladi,o’quv qo’llanma sifatida foydalanishlari mumkin.Ish natijalari keying tadqiqotlar uchun asos bo’lib xizmat qiladi.Ushbu kurs ishida ham amaliy, ham nazariy va metalogik ahamiyatga ega bo’lib,mustaqil tadqiqotlar da, to’garaklarda ,maktabda, kollej va litseylarda maxsus kurslar o’qitishda , to’garaklarda , matematik kechalarda foydalanishi mumkin.
Ushbu kurs ishining birinchi bobi tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallash deb nomlanib, ushbu bobda oddiy differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida hisoblash, darajali qator yordamida hisoblanadigan Bessel tenglamasi, darajali qator yordamida hisoblanadigan Besselning 1-tur funksiyalari, darajali qator yordamida hisoblanadigan Besselning 2-tur funksiyalari haqida ma’lumotlar keltirilgan va misollarni ishlangan. Ikkinchi bobida darajali qator yordamida hisoblanadigan Gaus tenglamasi, oddiy differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash usulini amaliyotda qo’llash haqida ma’lumot berigan.