Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

I BOB
TENGLAMALRNI DARAJALI QATORLAR YORDAMIDA INTEGRALLASH
1.1.Oddiy differensial tenglamalrni darjali qatorlar yordamida hisoblash

Amaliyotda uchraydigan muammolarni hal qilish ko’p hollarda

(1)
ko’rinishidagi tenglamalarni integrallashga keladi. Faraz qilaylik bu
tenglamalarning va koeffisiyentlari darajali qatorlar yoki
polinomlardan iborat bo’lsin, ya’ni
va (2) bu yerda ( ) bo’lib,
,Demak (1) tenglamani
(3)
ko’rinishda yozish mumkin.
(3) tenglamani yechimi
₍₄₎
Darajali qator ko’rinishida izlanadi.(4) dagi ni va hosilalarini (3) tenglamag qo’yib, darajali qatorlarni ko’paytiramiz va ning bir xil daraja oldidagi koeffitsiyentlarini nolga tenglaymiz
(5)
tenglamalar majmuasiga ega bo’lamiz. Ma’lumki (4) tenglamalarning har biri ikkinchisidan boshlab, oldingi tenglamadan bitta ko’p noma’lumga ega, birinchi tenglamada va ixtiyoriy ozgarmaslar sifatida qabul qilinib, bu o’zgarmaslarning qiymatlaridan va (5) tenglamalardan
koeffisientlar topiladi, ya’ni va qiymatlari ma’lum bo’lsa, (5) dagi 1-tenglamadan ,2tenglamadan va hokazo ma’lum bo’lganda (5) dagi k-tenglamadan topiladi. (1) yoki (3) tenglamaning chiziqli erkli ikkita yechimini aniqlashda, qulaylik uchun va tanlash orqali hamda va tanlash orqali chiziqli erkli yechimlarni olamiz.
1-teorema. Agar (2) darajali qatorlar da yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda koeffisiyentlari yuqoridagi usulda aniqlangan (4) qator ham da yaqinlashuvchi va (1) yoki (3) tenglamaning yechimi bo’ladi.
1-misol. tenglamani darajali qatorlar yordamida integrallang.
Yechish. Berilgan tenglama yechimini (4) ko’rishda izlaymiz va
, ,
larni berilgan tenglamaga qo’yamiz:

Endi esa noma’lum koeffisiyentlarni topish uchun x ning bir xil darajalari oldidagi koeffisiyentlarni nolga tenglaymiz va

tenglamalarni hosil qilamiz. Birinchi holda, soddalik uchun va bo’lsin deb olamiz. Hosil bo’lgan tenglamalarning birinchisidan , ikkinchisidan esa , aniqlangan va ning qiymatlaridan hamda hosil bo’lgan tenglamalarning uchunchisi va to’rtinchisidan va . Demak bu holda yechim

ko’rinishda bo’ladi.
Ikkinchi holda, va bo’lsin, u holda birinchi tenglamadan , ikkinchisidan esa . Aniqlangan va ning qiymatlaridan hamda uchunchi va to’rtinchi tenglamalardan va .Demak ikkinchi yechimi
Shunday qilib, berilgan tenglama umumiy yechimi



bo’ladi.