Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

4-teorema. agar intervalda bo’lsa, funksiya har qanday tartibli hosilalarga ega va ularning barchasi mutlaq qiymatda bir xil son bilan cheklangan , ya’ni u holda bu funksiyaning Teylor qatori shu intervakning har qandayliga yaqinlashadi bular tenglik amal qiladi.
Oddiy differensial tenglamada kerakli funksiya argument va uning hosilalari aniq shaklda bo’lmasligi mumkin,lekin eng yuqori hosila n-tartibli tenglama kiritish mumkin.
Masalan, havo tenglamasi
Havo tenglamasini yechimi kuchli qator shaklda izlaymiz .keyin tenglik

shaklni oladi.
koeffitsiyenti teng .Shunday qilib, koeffitsiyentining tengligidan nolga teng bo’lgan koeffitsiyentni topamiz. Shunday qilib, koeffitsiyentining tengligidan nolga teng bo’lgan koeffitsiyentni topamiz.

Bu yerdan .Ushbu formuladan biz olamiz

Xuddi shunday biz topamiz



koeffitsientli va aniqlanmagan.Yechimlarning asosiy tizmini toppish uchun biz birinchi navbatta qo’yamiz keyin esa aksincha.
Birinchi holda, bizda bor

va ikkinchisida

Teoremaga ko’ra ,bu qatorlar raqamlar chizig’ining hamma joyida birlashdi.
Funksiyalar airy funksiyalari deb ataladi.Katta qiymatlar uchun bu funksiyalarning asimptotik harakati formulalar bilan tavsiflanadi.
Cheksiz o’sish bilan, Airy tenglamasining har qanday yechimining nollari cheksiz yaqinlashdai, buni ushbu yechimlarning asimptotik tasviridan ko’rish mumkin,ammo Airy funksiyalarining yaqinlashuvchi kuchlar qatori ko’rinishida ifodalanishidan umuman ko’rinmaydi .Demak bundan kelib chiqadiki, ketma-ketlik yordamida oddiy differensial tenglamalar yechimini izlash usuli,umuman olganda, amaliy masalalarni yechishda unchalik qo’llanilmaydi va yechimning ketme-ket ko’rinishida ifodalanishining o’zi sifati jihatidan tahlili murakkablashtiradi.
O’zgaruvchi koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglama shaklga ega Bessel tenglamasi deyiladi.
Tenglamaning yechimi umumlashtirilgan quvvat qatori shaklida izlanadi,ya’ni dasht qatoridagi ma’lum darajalr mahsulotlar:
₍₃₄₎
Umumlashtirilgan quvvat qatorini tenglamaga qo’yib, tenglamaning chap tomonidagi har bir quvvatning ,biz tizimni olamiz:
₍₃₅₎

Berilgan sistemada biz sistemaning ikkkinchi tenglamasidur.Keyin topamiz va qiymatlarni beradigan tenglamadan tioishimiz hisobga olib, biz juft sonly koeffitsiyentlar uchun ifodalar ni olamiz degan xulosaga kelamiz.Topilgan koeffitsiyentlarni ketma-ket

₍₃₆₎
ga almashtirib, yechimni olamiz

Natijada paydo bo’lgan quvvat seryalari barcha qiymatlar uchun birlashadi, bu dalamber mezoni asosida osongina o’rnatiladi.Yechimlar va chiziqli mustaqilldir ,chunki ularning munosabatlari doimiy emas.
Eritma doimiyga ko’paytiriladi birinchi turdagi tartibli Bessel funksiyasi (yoki silindsimon funksiya) deb ataladi va boshqa belgi bilan belgilanadi.Kontstantani umumiy qabul qilgan tanlashda gamma funksiyasi ishtirok etadi, u noto’g’ri integral bilan aniqlanadi:
₍₃₇₎
Binobarin , tenglamaning umumiy yechimi butun songa teng bo’lmaganda, va ixtiyoriy doimiylar ko’rinishiga ega bo’ladi.
Tenglama Koshi muommosini boshlang’ich shart bilan hal qilishi kerak bo’lgan hollarda, yechimni teylor seryasidan foydalanib izlash mumkin:


₍₃₈₎
Bu yerda va keying hosilalar asl tenglamani ketma-ket differensiallash natijasiga almashtirish yo’li bilan topiladi. Xuddi shunday, Teylor seriyalaridan foydalanib, yuqori tartibli tenglamalarni integrallash mumkin.