Tekislikning umumiy

Fazoda analitik gеomеtriya. Tеkislik va uning tеnglamalari

R е j a :

1. 
   Bеrilgan nuqtadan o¢tuvchi tеkisliklar tеnglamasi.
   
2. 
   Bеrilgan uchta nuqtadan o¢tuvchi tеkislik tеnglamasi.
   
3. 
   Ikki tеkislik orasidagi burchak.
   
4. 
   Tеkisliklarning pеrpеndikulyarlik va parallеllik sharti.
   
5. 
   Uchta tеkislikning kеsishish nuqtasi.
   
6. 
   Nuktadan tеkislikkacha bo¢lgan masofa.
   

Fazoda tekislik tenglamalari

Tekislikning umumiy tenglamasi. Aytaylik, fazoda ixtiyoriy Oxyz dekart

koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin, unda

x, y, z

o’zgaruvchili istalgan birinchi

tartibli tenglama berilgan sistemaga nisbatan tekislikni ifodalaydi. Bunday tenglamaning ko’rinishi quyidagicha bo’lsin:

Ax + By + Cz + D = 0

(1)

Bu yerda A,B,C va D lar ixtiyoriy o’zgarmaslar bo’lib, A,B,C lar bir paytda nolga teng bo’lmaydi. (1)- tenglamani qanoatlantiradigan hech bo’lmaganda

bitta

M ₀ (x₀ , y₀ , z₀ )

nuqtani belgilab olamiz, ya`ni

Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0
(2)

tenglik o’rinli bo’lsin. Agar (1)- dan (2)- ni ayirsak, tekislikning (1)-ga teng kuchli

A(x - x₀ )+ B(y - y₀ )+ C(z - z₀ ) = 0

(3)

ko’rinishidagi tenglamasini hosil qilamiz. Endi (3)- tenglama

M ₀ (x₀ , y₀ , z₀ )

nuqtadan o’tuvchi,

n^r = {A, B,C}

vektorga perpendikulyar tekislikni ifodalashini

ko’rsatamiz. n^r vektor nol vektor emas, chunki A,B,C lar bir paytda

nolga teng bo’lolmaydi.

Agar haqiqattan ham,

M (x, y , z)

nuqta tekshirilayotgan tekislikda yotsa,

uning koordinatalari (4.28)- tenglamani qanoatlantirishi kerak. Demak, bu

_r r

paytda shu tekislikda yotgan

r = M₀M = {x - x₀ , y - y₀ , z - z₀ }

yo’nalgan kesma

(radius-vektor) va

n^r = {A, B,C}

o’zaro perpendikulyar (ortogonal) bo’lishi,

ularning skalyar ko’paytmasi esa


0

0
rr r ^r

(nr ) = (n × M

M )= A(x - x

)+ B(y - y₀

)+ C(z - z₀

)= 0

(4)

bo’lishi kerak, aks holda qaralayotgan vektorlar o’zaro perpendikulyar

bo’lolmaydi. ^nr vektor faqat tekislikdagina yotgan istalgan bir yo’nalgan kesmaga perpendikulyar bo’lishi mumkin. Shunday qilib, (3) va demak, (1)- tenlama fazoda tekislikni ifodalab, unga tekislikning umumiy tenglamasi

deyiladi.

n^r = {A, B,C} vektorga esa tekislikning normal vektori deyiladi.

Tekislikning umumiy tenglamasini tekshirish. Tekislikning umumiy ko’rinishidagi (1)-tenglamasida A, B, C va D lar noldan farqli bo’lsa, unda (1)- ga to’la tenglama deyiladi. Agar A, B, C, D lardan birortasi nolga teng bo’lsa, to’la bo’lmagan tenglama deyiladi. Quyida to’la bo’lmagan tenglamaning ba`zi xususiy hollari bilan tanishib o’tamiz.

1) D = 0;

tenglama

Ax + By + Cz = 0

ko’rinishini olib, kordinatalar boshidan

o’tuvchi tekislikni ifodalaydi.

2) A = 0;

tenglama

By + Cz + D = 0

ko’rinishini olib, Ox o’qiga parallel

tekislikni ifodalaydi. Chunki bunday tekislikning

Ox o’qiga perpendikulyardir.

n^r = {0, B,C}

normal vektor

3) ^{В = 0}

tenglama

Ax + Cz + D = 0

ko’rinishini olib, Oy o’qiga parallel

tekislikni ifodalaydi. Chunki bunday tekislikning o’qiga perpendikulyardir.

n^r = {А,0,C}

normal vektori Oy

4) С = 0 ;

tenglama

Ax + By + D = 0

ko’rinishini olib, ^Oz o’qiga parallel

tekislikni ifodalaydi. Chunki bunday tekislikning

^Oz o’qiga perpendikulyardir.

n^r = {А, B,0}

normal vektori

5) B = 0, C = 0

tenglama

Ax + D = 0

yoki

x = - ^D

A

ko’rinishini oladi. Agar

a = - ^D

A

deb olsak,

x = a

tenglama Oyz koordinata tekisligiga parallel va Ox

o’qidan a ga teng kesma ajratuvchi tekislikni ifodalaydi.

6) A = 0, B = 0;

tenglama

Cz + D = 0

yoki

z = - ^D

C

ko’rinishni oladi. Agar

_{c =} - D

C
deb olsak,
z = c
tenglama Oxy koordinata tekisligiga parallel va Oz

o’qidan c ga teng kesma ajratuvchi tekislikni ifodalaydi.

7) A = 0, C = 0;

tenglama

By + D = 0

yoki

y = - ^D

B

ko’rinishini oladi.

Agar

b = - ^D

B

deb olsak,

y = b

tenglama Охz kordinata tekisligiga parallel va Oy

o’qidan b ga teng kesma ajratuvchi tekislikni ifodalaydi.

8) В = 0, С = 0, D = 0

tenglama

Ax = 0

ko’rinishini olib, Oyz koordinata

tekisligini ifodalaydi.

9) A = 0, С = 0, D = 0

tenglama

By = 0

ko’rinishini olib, Oxz koordinata

tekisligini ifodalaydi.

10)

A = 0, B = 0, D = 0

tenglama

Cz = 0

ko’rinishini olib, Oxy koordinata

tekisligini ifolaydi.

Tekislikning kesmalar bo’yicha tenglamasi. Tekislikning (1)- ko’rinishidagi umumiy tenglamasini yozib olamiz:

Ax + By + Cz + D = 0

Tenglamada D koeffitsientni tenglikning o’ng tomoniga o’tkazib, hamma hadlarni (-D) ga bo’lib chiqamiz:

yoki

А _{x +} B

• 
  D - D
  

y + ^C

• 
  D
  

z = 1

(5)

x ₊

• 
  ^D -
  

A

^y + ^z = 1

D _- D

B C

(6)

(6)- tenglamada

a = - ^D , b = - ^D

vа c = - ^D

belgilashlarni kiritamiz, a,b,c

A

lar tekislikning mos ravishda

B

Ox, Oy , Oz

C

o’qlardan ajratgan kesmalarini

ko’rsatadi (1-chizma). Unda (6)- tenglama

^x + ^y + ^z = 1

(7)

a b c

ko’rinishini olib, tekislikning kesmalar bo’yicha tenglamasi deyiladi.


y

x

1-chizma.

Masala. Tekislikning umumiy tenglamasi kesmalar bo’yicha tenglamasiga keltiring.

2x - y - 4z + 20 = 0

ni uning

Yechish. Tenglamaning ozod hadi 20 ni tenglikning o’ng tomoniga o’tkazib,

hamma hadlarini -20 ga bo’lamiz:

yoki tekislikning

2x - y - 4z = -20,

² x -

- 20

1


- 20

y - ⁴

- 20

z = 1

x y z

x y z

20 ^- - 20 ^- - 20 ^{= 1}

-

yoki

+ + = 1

- 10 20 5

2 1 4

ko’rinishidagi kesmalar bo’yicha tenglamasini hosil qilamiz. Demak, berilgan

tekislik Ox o’qidan kesmalar ajratar ekan.

^{a = -10} , Oy o’qidan

b = 20

va Oz o’qidan

c = 5

ga teng

Tekislikning normal tenglamasi. Bizga koordinatalar boshidan tekislikkacha bo’lgan masofa p, ya`ni O nuqtaning tekislikka o’tkazilgan OT perpendikulyarning uzunligi hamda O nuqtadan tekislikka yo’nalgan birlik

r

normal vektor n₀

berilgan bo’lsin (2-chizma).

2-chizma.

Shu berilgan kattaliklar yordamida tekislikning tenglamasini topish

masalasini qo’yamiz. M ko’rilayotgan tekislikning biror nuqtasi bo’lsin. OM

= r^r

deb, bu vektorning

_nr_o

vektor yo’nalishidagi proyektsiyasini olsak, u

_n o
ПРr ОМ = р

(8)

bo’ladi, chunki shartga ko’ra asosan

= р . Ikki vektorning skalyar ko’paytmasigi

r
ПРr ОМ = ⁽ОМ × n^{ro )}

_n o

yoki

ПРr ОМ (r^r n^ro )
r


_no
= × (9)

ni hosil qilamiz. Buni (4.33)- tenglikka qo’ysak,

(r^rn^ro )- p = 0
(10)

bo’ladi. Tekislikning vektor shaklidagi normallashgan tenglamasi deyiladi.

r^r esa tekislikdagi ixtiyoriy M nuqtaning radius-vektori bo’lib, o’zgaruvchi kattalikdir.

(10)-tenglikni Dekart koordinatalar orqali yozish maqsadida

_nr_o

vektorni

yo’naltiruvchi kosinuslar orqali r^r ni

x, y, z

koordinatalar orqali yozsak, ya`ni

unda

bo’ladi.

n^{r 0} {cosa , cos b , cosg }, r^r{x, y, z}
(r^r × n^ro ) = x cosa + y cosb + z cosg


(11)

Natijada (10)-ni (11)-yordamida quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:

xcosa + y cosb + z cosg

- p = 0

(12)

(12)-tekislikning koordinatalar shaklidagi normal tenglamasidir.