1-§. Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning yechimi

1 BOB
XUSUSIY HOSILALI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR KLASSIFIKATSIYASI.IKKINCHI TARTIBLI IKKI O’ZGARUVCHILI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI KANONIK KO’RINISHGA KELTIRISH.
1-§.Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning yechimi.

Ω orqali Dekart ortogonal koordinatalari ,n bo’lgan nuqtalarning -o’lchovli Yevklid faosidagi sohani belgilaymiz.

u(x)=u( ) funksiyaning x Ω nuqtadagi = + +…+ tartibli hosilasini
u= = , u=u(x)

,bu yerda , …, manfiy bo’lmagan butun sonlar.
F=F(x,…, ,…) funksya x nuqta va haqiqiy o’zgaruvchilarning berilgan funksyasi bo’lib,
kamida bitta =m>0 hosila noldan farqli bo’lsin.
Ushbu
F(x,…,
tenglik noma’lum u(x)=u( ) funksyaga nisbatan m gtartibli xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
Agar F barcha ( =0,1,…,m) o’zgaruvchilarga nisbatan chiziqli funksya bo’lsa ,(1.1) tenglama chiziqli differensial tenglama deyiladi.
Agarda F funksya =m bo’lganda barcha o’zgaruvchilarga nisbatan chiziqli bo’lsa ,(1.1) tenglama kvazichiziqli differensial tenglama deyiladi.

Xususiy hosilali m-tartibli chiziqli differensial tenglamani ushbu

Ko’rinishda yozish mumkun.
Barcha x lar uchun (1.2) tenglamaning o’ng tomoni f(x) nolga teng bo’lmasa,bir jinsli bo’lmagan tenglama deyiladi.
Xususiy hosilali ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama
(x) + (x) +C(x)u=f(x) (1.3)

ko’rinishda yoziladi,bu yerda , ,S,f-x o’zgaruvchining hada berilgan haqiqiy funksyalaridir.

(1.3) tengamaning barcha (i,j=1, … ,n) koiffitsientlari nolga teng bo’lgan x nuqtalarda tenglama ikkinchi tartibli bo’lmay qoladi,ya’ni bu nuqtalarda (1.3) tenglamaning tartibi buziladi.
Biz(1.3)tenglama berilgan sohada uning tartibi teng ikkiga bo’lingan deb hisoblaymiz.(1.3) tenglamada bo’lganda alohida-alohida qo’shiluvchilar ishtirok etmay,balki ularning yig’indisi ( ishtirok etadi.Shu sababli ham umumiylikka ziyon yetkazmay hamma vaqt
deb hisoblaymiz.

1. 
   tenglamada m=2 ,n=2 bo’lsa u holda ikki o’zgaruvchili xususiy hosilali ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama
   

(1.4)
yoki

=0
ko’rinishda yoziladi,bu yerda
, ­- berilgan funksyalar.
1-misol.Quyidagi tenglamalar chizili(bir jinsli yoki bir jinsli bo’lmagan)yoki chiziqli bo’lmagan (kvazichiziqli) ekanligini aniqlang.

1.