1-§. Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning yechimi

1-misol. tenglamaning tipini
aniqlang.
Yechish. (1.9)ga asosan berilgan tenglamaga mos kvadratik foma
quyidagi ko’rinishga ega:
( =
+ + .

Bu yerda ya'ni +2 ,
-2 , almashtirish qilsak, ( kvadratik
forma kanonik ko'tinishga keladi. Bundan va
(1.11) ga asosan ni hisobga olib, berilgan tenglama
elliptik tipga tegishli ekanligi kelib chiqadi.
(1.8) tenglamaning yuqorida bayon qilingan klassifikatsiyasini
ekvivalent tarzda A=‖ matritsaning xarakteristik sonlariga
asoslanib ham berish mumkin. Buning uchun algebradan ma'lum
bo'lgan (1.9) kvadratik formaning (1.11) kanonik ko'rinishdagi
(k=1, … ,n )sonlar A matritsaníng xarakteristik sonlardan iborat
ekanligini eslash kifoya.
(1.8) tenglamadagi A matritsaning xarakteristik sonlari ushbu

det (A-𝜆E)= (1.12)
algebraik tenglamaning ildizlaridan iborat bo'lib, ular haqigiydir (A
matritsa simmetrik bo lgani uchun), bu yerda E birlik matritsa.
(1.8) tenglamadagi A matritsa berilgan 𝛺 sohaning ixiyoriy
nuqtasida ta musbat, ta manfiy va ta nol xarakteristik
sonlarga ega bo Isin. Ma’lumki, + + = .
Agar A matritsaning xarakteristik sonlari mos ravishda noldan
farqli va bir xil ishorali , , , noldan farqli va
bir xil ishorali emas [( , , )] yoki kamida
bitasi nolga teng [( , , )] bo'lsa, u holda
(1.8) tenglama 𝛺 sohaning har bir mugtasida eliptik, giperbolik yoki
parabolik deyiladi.
2-misol. tenglamaning
tipini aniqlang.
Yechish. Berilgan tengiama
(

va (1.12) dan quyidagiga ega bo’lamiz:

det (A-𝜆E)=
4 ( =-0,5; .
Demak, ta'rifga asosan berilgan tenglama , , tipga, ya'ni
giperbolik tipga tegishli ekanligi kelib chiqadi.
Agar noldan farqli bo'lgan bir xil ishorali haqiqiy sonlar
mavjud bo'lib, barcha nuqtalar uchun ushbu

tengsizlik bajarilsa, 𝛺 sohada elliptik bo’lgan (1.8) tenglama tekis
elliptik tenglama deyiladi.
Yuqorida aytilganlarga asosan (1.8) tenglama
(1.13)
ko'rinishda yoziladi.
Ikkinchi tartibli differensial tenglamaning aralash hosilalar
qatnashmagan (1.13) ko'rinishi, odatda uning kanonik ko’rinishi
deyiladi.
Agar barcha =1 yoki barcha 4 =-1, k=1,2,… ,n bo'lsa,
ya’ni forma mos ravishda musbat yoki manfiy aniqlangan (definit)
bo’lsa, (1.8) tenglama nuqta elliptik tipdagi yoki elliptik
tenglama deyiladi.
Agar koefitsiyentlardan bittasi manfiy, qolganlari musbat
(yoki aksincha) bo'lsa, (1.8) tenglama 𝛺 nuqtada giperbolik
tenglama deyiladi.
koeffitsiyentlardan 1 tasi, 1tasi manfiy boIsa, (1.8) tenglama x 𝛺 nuqtada ultragiperbolik
tipdagi tenglama deyiladi.
Agar koeffitsiyentlardan bittasi nolga teng, qolganlari noldan
farqli va bir xil ishorali bo'lsa (1.8) tenglama x 𝛺 nuqtada