1-§. Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning yechimi

parabolik tenglama deyiladi.
Agar koefitsiyentlardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa, (1.8)
tenglama keng ma'noda x 𝛺 nuqtada parabolik tenglama deyiladi.
Agar (1.8) tenglama 𝛺 sohaning har bir nuqtasida elliptik,
giperbolik yoki parabolik bo'lsa, u holda 𝛺 sohada mos ravishda
elliptik, giperbolik yoki parabolik tipdagi tenglama deb ataladi.
3-misol. =0 tebglamani kanonik ko’rinishga keltiring.
Yechish. (1.9)ga asosan berilgan tengłamaga mos kvadratik forma
yozib olamiz: ( =
-0,25 - .

Agar deb belgilasak
( kvadratik forma kanonik ko'rinishga keladi
Demak, matritsasi bo'lgan , affin almashtirishi orqali Q( ) kvadratik
forma ( kanonik ko'rinishga keladi.
Berilgan differensial tenglamani kanonik ko'rinishga keltiruvchi
almashtirishning matritsasi M ga qo’shma matritsa, ya’ni
bo'lib, u ko’rinishga ega bo'ladi. Tenglamada bu almashtirishni bajarib va
belgilash kiritib hamda quyidagilarni

hisobga olib, berilgan differensial tenglamani ushbu ko' rinishdagi
kanonik shaklga olib kelamiz. Demak, (1.13)ga asosan berilgan
tenglama giperbolik tipga tegishli bo ladi.
Ω sohaning turli qismida (1.8) tenglama har xil tipga tegishli
bo' Isa, bunday tenglamaga aralash tipdagi tenglama deyiladi
4-misol. tenglamaning tipini
aniqlang.
Yechish. Berilgan tenglama va (1.12) dan quyidagiga ega bo'lamiz:
│ │=0, (1- )(y- )=0,
Shunday qilib, berilgan tenglama y=0 o’qning ixtiyoriy qismini
oz ichiga olgan Ω sohada aralash tipga tegishli bo'ladi. Haqiqatan
ham, y>0 bo'lsa, (2,0,0) tipga; y<0 bo'sa, (1,1,0) tipga; y=0
bo'lsa, (1,0,1) tipga tegishli bo' ladi, ya'ni berilgan tenglama Ω sohaning har bir nuqtasida eliptik, giperbolik va parabolik tipdagi tenglama bo'ladi.
Agar (1.8) kvazichiziqli tenglamada funksiyalar
o' zgaruvchidan tashqari, u va larga ham bog'liq bo'lsa,
tenglama konkret yechimga nisbatan tipga ajratiladi.