Ehtimol va uni hisoblash usullari

23.7- teorema. (Muavr — Laplasning lokal teoremasi). Agar Bernulli sxemasida p etarlicha katta bo`lib, har bir sinashda A hodisaning ro`y berish ehtimoli r (0R_p(k) ehtimol uchun ushbu

taqribiy formula o`rinli bo`ladi.

Agar

Р_n k   ¹ e
х 

_ k np ²

2np1 p 
(23.21)

deyilsa, u holda
k  np²

 _х2

2np1  p 2

bo`lib, yuqoridagi (23.20) formula quyidagi ko`rinishga keladi.

• 
  _х 2
  

• 
  _х 2
  

Р_n k   ¹ e ² 

1 _ 1 _{e 2}

Ushbu

х 

1. 
   e^х2 ² belgilash kiritsak, u holda
   

Р_n k  

¹ х.
(23.21)

Bu erda  х juft funktsiya bo`lib, uning qiymatlari uchun jadvallar tuzilgan

Misol. Har bir ekilgan chigitni unib chiqish (A hodisa) ehtimoli o`zgarmas bo`lib, R(A) = r = 0,8 ga teng bo`lsa, ekilgan 100 ta chigitdan unib chiqqanlar soni 85 ta bo`lish ehtimolini toping.

echish. Masala shartiga ko`ra p = 100, r = R(A) = 0,8, q = 1 - r = 0,2, k = 85. Ravshanki, talab qilingan R₁₀₀ (85) ehtimolni Bernulli formulasi bilan

Р₁₀₀ 85 

100!

85!85!

0,8⁸⁵  0,2¹⁵

aniq hisoblash (n – katta bo`lgan holda) juda qiyin, bunday holda

r - o`zgarmas (0

х  

85 100  0,8 _

100  0,8  0,2

 ⁵  1,25.

4

Muavr — Laplasning lokal teoremasiga asosan

Р₁₀₀ 85 

1

100  0,8  0,2

1,25  ¹ 1,25.

4

Ilovadagi jadvaldan

1,25  0,1826

ekanligidan, talab qilingan ehtimollik

Р₁₀₀ 85  ¹  0,1826  0,0456

4

bo`ladi.

Mazkur bobning 7-§ da p ta erkli tajribada A hodisaning kami bilan k₁ marta va ko`pi bilan k<sub>2</sub> marta ro`y berish hodisasi k₁    k₂ ning ehtimoli bo`lishini ko`rgan edik.

k₂

Р_n k₁    k₂

_ P_n m

mk₁

Muavr — Laplasning integral teoremasn p etarlicha katta bo`lganda Р_n k₁    k₂

ehtimolni taqribiy ifodalovchi formulani beradi.

23.8-teorema. Bernulli sxemasida lokal teorema shartlari Р_n k₁    k₂

uchun ushbu

ehtimol

Р_n k₁    k₂ ¹ _

taqribiy formula o`rinli bo`ladi, bu erda 0 < r < 1.

Ushbu

• 
  _x 2
  

e ² dx 

_{ } 1
x

 x  _ e

0

_{ t} 2

2. 
   dt
   

(23.23)

Laplas funktsiyasi toq funktsiya bo`lib, x ning turli qiymatlariga integralning mos qiymatlari jadvali tuzilgan

Misol. Tavakkaliga olingan pillaning yaroqsiz chiqish ehtimoli 0,2 ga teng. Tasodifan olingan 400 ta pilladan 70 tadan 130 tagacha yaroqsiz bo`lish ehtimoli topilsin.

echish. Shartga ko`ra p = 400, k<sub>1</sub> = 70, k<sub>2</sub> = 130, r = 0,2, q = 1 - r = 0,8 bo`ladi. Ravshanki,

x^ 

70  400  0,2

^ 400  0,21  0,21  0,2

  ¹⁰  1,25; 8

х^  6,25.

Yuqorida keltirilgan (23.24) formulaga muvofiq izlanayotgan ehtimol taxminan

Р_n k₁    k₂  Р₄₀₀70    130 6,25 1,25

bo`ladi. Jadvaldan hamda x ning toq funktsiyaligini e`tiborga olib quyidagilarni topamiz:

F(-1,25) = -0,39435, F(6,25) = 0,5

(2-ilovaga qaralsin), u holda

Р₄₀₀70    130 0,5   0,39435  0,89435

bo`ladi. Demak, izlanayotgan ehtimollik

Р₄₀₀70    130 0,89435.

Faraz qilaylik, p ta erkli tajribada A hodisa  marta ro`y bersin. Har bir tajribada A hodisaning

ro`y berish ehtimoli r (0
bo`lsin. Ma`lumki,

^ miqdor A hodisaning nisbiy chastotasi bo`ladi.

n

Yuqorida keltirilgan Muavr—Laplasning integral teoremasidan foydalanib, nisbiy chastota

^ ning o`zgarmas ehtimol r dan chetlanish ehtimolini topish mumkin:

n

  0

ehtimoli uchun

olinganda ham ushbu

^  p  

n

tengsizlik orqali ifodalanadigan hodisaning

_  _n 

Р  p   _  2^ 

p1 p ^

^  

taqribiy formula o`rinli bo`lishini ko`rsatamiz.

Ravshanki,

^  p  

n

    ^  p  

n

  

_   np _

n

 

Demak,

   

P^{ }  p   ^  P^ 

_   np _{ }
(23.25)



n
  

  _

Muavr—Laplasning integral teoremasidan foydalanib topamiz:




P^ 

_

_   np


¹  x ² 2

1 _



 _n 

_e x <sup>2

2</sup>dx 

 _ e

0

dx  2^



p1  p ^.


Bu holda (23.25) munosabatdan

  _p  ^ n ^

P_ 

n

  _  2^ 

p1  p ^

(23.26)

  _{ }

bo`lishi kelib chiqadi. Bu formuladai , p va ehtimol qiymatlarini topish mumkin.

Misol. A—tangani tashlash tajribasida tanganing gerbli tomoni bilan tushish xodisasi

bo`lsin. Tangani 400 marta tashlanganda A xodisa nisbny chastotasi

^ ning 0,5 ehtimoldan 400

absolyut kiymat bo`yicha chetlanishi 0,08 dan kichik bo`lish ehtimolini toping.

echish. Shartga ko`ra p=400, r=0,5,  = 0,08. U holda (23.26) formulaga asosan:

  ^ 400 ^

P_  0,5

 0,8_  2^ 0,08 

^  23,2.

0,5  0,5

  _{ }

Jadvaldan F(3,2) = 0,49931 ni olsak,

bo`ladi.

_P 


^ 400


 0,5




0,8_  0,99862



7- §. Puasson teoremasi

Biz yuqorida o`rgangan Bernulli sxemasida p ta erkli tajribada A hodisaning k marta ro`y berishi ehtimoli Bernulli formulasi bilan hisoblanishini ko`rdik. Bernulli formulasini keltirib chiqarishda A hodisaning har bir tajribada ro`y berish ehtimoli o`zgarmas va u r ga teng bo`lsin deb olindi (0 < r < 1].

Ko`pgina masalalarda hodisaning ro`y berish ehtimoli r tajribalar soni p ga bog`liq bo`lib, p ning ortib borishi bilan r ning kamayib borishiga bog`langan bo`ladi. Bunday holda Bernulli sxemasi uchun kuyidagi teorema o`rinli bo`ladi.

23.6-teorema. (Puasson teoremasi). Agar Bernulli sxemasida n da r 0 va pr (>0)

bo`lsa, u holda n da ushbu munosabat o`rinli bo`ladi:

   ^k ^    ^k ^

Р_n k

e yoki

k!

Р_n k _k! e .

(23.16)

Bu taqribiy formulani Puasson formulasi deyiladi.


n

k! n  k !
Isbot. Ma`lumki, p ta o`zaro erkli tajribada A hodisaning k marta ro`y berish ehtimoli

n
Р_n k   C^k р^k 1 р^nk

bo`ladi, bunda С^k 

_ ^n! _ . Keyingi tenglikni quyidagicha yozib olamiz:

_{Сk } n! _ 1 2  3...n  k n  k 1...n _ nn 1...n  k 1 _

ⁿ k!n  k ! k!1 2  3...n  k  k!

n  n^1  ^{1 }n^1  ^{2 }...n^1  ^{k 1}

 _n   _n  

n ^{ nk} 

¹ 

²   ^{k 1}

_     

^  _1 

_1 

_..._1  _.

k!

Bu tenglikdan esa

k! _

ⁿ 

ⁿ   ⁿ 

^k! _{Сk } _{1 } ¹ _{1 } ² _..._{1 } ^{k 1}



(23.17)

bo`lishi kelib chiqadi.

_{nk n} 

   

n



n
   ⁿ 

Endi 0  a_k  1

1  k  n, n  1 sonlar uchun o`rinli bo`lgan ushbu

1  a₁ 1  a₂ ...1  a_n   1  a₁  a₂  ...  a_n 

sodda tengsizlikdan foydalanib topamiz.

^1  ^{1 }1  ^{2 }...^1  ^{k 1}  1  ^{ 1}  ²  ...  ^{k 1}.

Ravshanki,

 

 

    


n

n

n

n

n
    ⁿ 

¹  ²  ...  ^{k 1}  ¹ 1  2  ...  k 1  ^{1 k 1k}  ^{kk 1}.

Demak,

n n n n

n 2 2n

_{1 } ¹ _{1 } ² _..._{1 } ^{k 1} _{ 1 } ^{kk 1}_.
(23.18)

n

n

n
 

 

  

   ²ⁿ

Natijada (23.17), (23.18) munosabatlardan

k! _{Сk  1 } kk 1

_n^{k n} 2n

bo`lishi kelib chiqadi. Agar

^k! С^k  1 ekanligini e`tiborga olsak, u holda

_nk n

_{1 } k k 1 _ k! _{Сk  1}

bo`lishini, ya`ni

2n _n^{k n}

^nk 

^{kk 1} _k ^nk

_1 

k! <sub>

</sub>  С_n 

2n _ k!

bo`lishini topamiz. Bu tengsizlikni hosil bo`ladi:

p^k 1  p^nk

ga ko`paytirsak, unda quyidagi tengsizliklar




 _ ^{kk 1} <sup>nk

k</sup>  

_nk _

k k <sub> 

</sub>nk _ <sup>nk

k</sup>  

_nk

Demak

^1 2n

_{ k!} р 1 p

С_n р 1 p

р 1 p .

k!

 _ ^{kk 1} <sup>nk

k</sup>  

_nk _

   ⁿk

^k  

_nk




^1 2n

_{ k!} р 1 p

P_n k

р 1 p .

k!

(23.19)

Endi shu tengsizlikda qatnashuvchi

ⁿ p^k 1 


k
k!

_pnk
ifodani quyidagicha yozamiz:

k
ⁿ p^k 1 

k!

_{nk } np^k _


1

p
k!

 p^k 1 



pⁿ 


_{n }np

np^k _{ k }

^np <sup>n

npk</sup> _{ k }

^np ^{ np} _

 1  p

k!

_1  _ 

 ⁿ 

1  p



k!

_1  _ .





 ⁿ 

 

Agar n da pr,

_{1 } kk 1 _{ 1,} 2n

1  p^k  1

p  0 va

np^k



1  p^{k }1  ^{np }

• 
  _{n }np
  

np _

 _k

_e

_


k! ^



n ^{ } k!

_

bo`lishini e`tiborga olsak, unda (23.19) munosabatdan

Р_n k  

C^k р

^k 1 

_^nk _ ^k 


e

р
k!

n
bo`lishini topamiz. Teorema isbotlandi.

Puasson formulasi tajribalar soni etarlicha katta bo`lib, har bir tajribada hodisaning ro`y

berish ehtimoli r etarlicha kichik bo`lganda Р_n k  ehtimolni taqribiy hisoblashga imkon beradi.

Misol. Darslik 200000 nusxada bosib chiqarilgan. Darslikning yaroqsiz (brak) bo`lish ehtimoli 0,00005 ga teng. Bu tirajda rosa beshta yaroqsiz kitob bo`lish ehtimoli topilsin.

echish. Shartga ko`ra n = 200000, r = 0,00005, k = 5. U holda pr=2000000,00005

= 10 bo`lib, (23.16) formulaga asosan

Р_n k  

^k 


e
k!

_ 10⁵

5!

_e10

 0,0375

bo`ladi. Demak, izlanayotgan ehtimol Р<sub>200000</sub> 5  0,0375 bo`ladi.

8-§. Diskret tasodifiy miqdorlar

 diskret tasodifiy miqdor bo`lib, uning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlari x₁, x₂,

…, x_p bo`lsin.

Agar  tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlarining ehtimollari ma`lum bo`lsa,  diskret tasodifiy miqdorning taqsimoti berilgan deyiladi.

Aytaylik,  diskret tasodifiy miqdor x₁, x₂, …, x_p qiymatlarni mos ravishda r₁, r₂,

…, r_p ehtimollar bilan qabul qilsin:

Р  х₁   р₁, Р  х₂   р₂ , ..., Р  х_n   р_n .

Bu ma`lumotlardan foydalaiib quyidagi jadvalni tuzamiz:

	X1	x2	…	xp
R(   xk )	R1	r2	…	Rn

Bu jadvalning birinchi satrida  tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlari, ikkinchi satrida esa ularga mos ehtimollari yozilgan.

Ravshanki:

  х₁,   х₂, ...,   х_n 

hodisalar bir-biriga bog`liq bo`lmagan hodisalar bo`lib, tasodifiy miqdor, albatta bitta qiymatni qabul qilishi kerak bo`lgani uchun

  х₁   х₂ ...    х_n  U

bo`ladi {U — muqarrar hodisa).

Qo`shish teoremasidan foydalanib topamiz:


n

P  х₁ P  х₂ ...P  х_n  PU .

Natiyjada r₁ + r₂ +…+ r_p =1, ya`ni _ p_k  1 tenglikka kelamiz. Bu esa  tasodifiy

k 1

miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan barcha qiymatlari ehtimollarining yig`indisi 1 ga teng bo`lishini bildiradi.

Diskret tasodifiy miqdor uchun kiritilgan yuqoridagi (24.1) jadval tasodifiy miqdorni to`la tavsiflab beradi. Shuning uchun ham (24.1) jadval  diskret tasodifiy miqdor extimollarining taqsimot

konuni deb ataladi.

Diskret tasodifiy miqdorning ba`zi muhim taqsimot qonunlarini keltiramiz.

p ta o`zaro erkin tajriba o`tkazilgan bo`lib, har bir tajribada A hodisaning ro`y berish ehtimoli o`zgarmas r ga teng bo`lsin. Bunday tajribada A hodisaning k marta ro`y berish ehtimoli

n
Р_n k   C^k р^k 1  р^nk

ga teng edi: Bu holda diskret tasodifiy miqdor  ning qabul qilishi

mumkin bo`lgan qiymatlari  : 0, 1, 2, …, p bo`ladi: Ravshanki, tasodifiy miqdor bu qiymatlarni mos ravishda ushbu

n
Р_n k   Р_n   k   C^k р^k 1 р^nk ,


k  0, n

ehtimollar bilan qabul qiladi hamda Natijada ushbu

_ P_n k   p  qⁿ  1 .

k 0

  k 	0	1	2	…	k	…	n
Рn k   Рn   k 	1  р^n	C^1 p1 р^n^^1 n	C ^2p^21 р^n^^2 n	…	C^kp^k1  р^n^^kn	…	pn

jadvalga ega bo`lamiz. Odatda bu jadval binomial taqsimot deb ataladi.

Misol. Ekilgan har bir chigitning unib chiqish ehtimoli 0,8 ga teng bo`lsa, ekilgan 3 ta chigitdan unib chiqqan chigitlar sonining qonuni tuzilsin.

echish. Ekilgan har bir chigit unib chiqishi ham, unib chiqmasligi ham mumkin. Ekilgan 3 ta chigitdan unib chiqishlar soni tasodifiy miqdor bo`lib, u 0, 1, 2, 3 qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Bu qiymatlarni qabul qilish ehtimoli Bernulli formulasi yordamida topiladi:


3
Р₃   0  С ⁰ р⁰1  р³  0,8⁰  0,2³  0,008,


3

3

3
Р₃   1  С¹ р1  р²  3  0,8 0,2²  0,096, Р₃   2  С ² р²1  р  3  0,8²  0,2  0,384, Р₃   0  С³ р³1  р⁰  0,8³  0,2⁰  0,512.

Demak, ekilgan 3 ta chigitdan unib chiqishlar soni  tasodifiy mikdorning taqsimot qonuni quyidagicha bo`ladi:

	0	1	2	3
R	0,008	0,096	0,384	0,512

Ravshanki, bu ehtimollar yig`indisi:

0,008 + 0,096 + 0,384 + 0,512 = 1.

24.1-eslatma.  tasodifiy miqdor 0, 1, 2, 3, ... qiymatlarni ushbu

ehtimollar bilan qabul qilsin.

Р 

_  _k_e


k
k!

(k = 0, 1, 2, ...)

Natijada quyidagi taqsimot jadvali hosil bo`ladi.

	0	1	2	…
Р   k 	е	е	^^2 е 2!	…

Bu jadval Puasson taqsimoti deb ataladi. Bu erda

^ _{ } ^ _k_e

 ^{ k}

  0

k!
_ P_n k

k 0

 _  e

k 0

_  e  e


k!
k 0

 e  1;

chunki qatorlar nazariyasidan:

^ _k 

k!
ekanligi ma`lum.

_ e

k 0

9-§. Uzluksiz tasodifiy miqdorlar.

Biz yukorida diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonunini o`rgandik. Agar tasodifiy miqdor

uzluksiz bo`lsa, bu tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlari biror а; b oraliqni

tashkil etadi. Binobarin bu holda tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini yuqoridagi o`xshash jadval shaklida yozib bo`lmaydi.

Faraz qilaylik,  ixtiyoriy tasodifiy miqdor, x esa biror haqiqiy son bo`lsin. Qaralayotgan tasodifiy

miqdor uchun ushbu {  x } hodisani qaraylik. Bu tajriba natijasida ro`y bergan miqdorning x sondan kichik bo`lish hodisasini bildiradi. Endi shu hodisaning ehtimoli

P  x

ni qaraylik. Ravshanki, bu ehtimol olingan x haqiqiy songa bog`liq, ya`ni x ning funktsiyasi bo`ladi.

Odatda P  x ehtimol bilan aniqlangan funktsiya  tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi deb

ataladi va G` (x) kabi belgilanadi:

G` (x)= P  x. (24.2)

	-1	0	2	2,5
P  x	0,2	0,3	0,4	0,1

Misol. Ushbu jadval bilan berilgan  diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonunining taqsimot funktsiyasi topilsin:

Jadvaldan ko`rinadiki,  tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlari —1, 0, 2, 2,5 bo`ladi. Bu sonlarni son o`qida yasaymiz.

- 1, 0, 1, 2, 2,5

Aytaylik, x  - 1 bo`lsin. Unda {   x } hodisasi mumkin bo`lmagan hodisa bo`ladi. {  x }=V.

Chunki bu holda tasodifiy miqdoriing   x tengsizlikni qanoatlantiruvchi bitta ham qiymati yo`q. Demak,

G`(x)=R{   x }=R(V)=0

bo`ladi. Endi -1 < x  0 bo`lsin. Bu holda {   x } hodisasi {   x }={  =-1) bo`ladi. Bundan esa

G`(x)=R{   x }=R(  =-1)=0,2

kelib chiqadi.

Endi 0< x  2 bo`lsin. Bu holda {   x } hodisasi

{   x }={  =-1}{  =0}

bo`lib, bo`ladi.
bo`lib, bo`ladi.
bo`ladi.
G`(x)=R{   x }=R(  =-1)+R{  =0}= 0,2 + 0,3 = 0,5
Faraz qilaylik, 2 < x  2,5 bo`lsin. Bu xolda hodisa

{   x }={  =1}{  =0}{  =2}
G`(x)=R{   x }=R{  =-1}+R{  =0}+R{  =2}= 0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9
Va, nihoyat, x > 2,5 bo`lganda {   x } bo`lib,

G`(x)=R{   x }=R{U} = 1
Shunday qilib, qaralayotgan tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi

bo`ladi.

^0,

^0,2


_0,5
F x  ^



^0,9

_1,

агар агар агар агар агар

х  1

1  х  1 0  х  2

2  х  2,5

х  2,5

булса, булса, булса, булса, булса

10-§. Tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikasi

Tasodifiy miqdor taqsimot qonunining berilishi shu tasodifiy miqdor haqida to`liq ma`lumot beradi. Ammo ba`zi hollarda tasodifiy miqdor to`g`risida ayrim, yig`ma ma`lumotlarni bilish lozim bo`ladi. Bunda tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari — tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasi tushunchalari muhim rol o`ynaydi. Biz quyida shu tushunchalar bilan tanishamiz.

Biror  diskret tasodifiy mikdor berilgan bo`lib, u x₁, x₂, …, x_p qiymatlarni mos ravishda

r₁, r₂, …, r_p ehtimollar bilan qabul qilsin:

24.1-ta`rif. Ushbu

х₁ р₁  х₂ р₂  ...  х_n р_n  _ х_k р_k

k 1

yig`indisi  diskret tasodifiy mikdorning matematik kutilishi deb ataladi va M

M  х₁ р₁  х₂ р₂  ...  х_n р_n  _ х_k р_k

k 1

kabi belgilanadi:

(25.1)

Demak, diskret tasodifiy mikdorning matematik kutilishi bu tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan barcha qiymatlarini ularning mos ehtimollariga ko`paytmalari

yig`indisidan iborat.

Tasodifiy miqdor matematik kutilishining ma`nosini anglash uchun bitta masalani qaraymiz.

Faraz qilaylik, n ta tajriba o`tkazilgan bo`lib, bunda  tasodifiy mikdor x₁, x₂, …, x_k qiymatlarni mos ravishda m₁, m₂, …, m_k martadan qabul qilgan bo`lsin. Ravshanki, m₁+m₂+…+m_k = n.

Qaralayotgan  tasodifiy mikdor qabul qilgan qiymatlarining o`rta arifmetik qiymati (uni

х bilan belgilaylik)

x₁m₁  x₂m₂  ...  x_km_k n

ga teng bo`ladi. Bu miqdorni quyidagicha yozish mumkin:

_{x } x₁m₁  x₂m₂  ...  x_km_k

 x₁  ^m1  x₂  ^m2  ...  x_k  ^mk .

n n n n

Agar

^mi (i = 1, 2, …, k) ni {   х_i } hodisaning nisbiy chastotasi W_i n

ekanini hamda bu

nisbiy chastota {  х_i } hodisasining ehtimoli r_i {R{   х_i } = r_i) dan kam farq qilishini (W_i  p_i )

e`tiborga olsak, unda

x  x₁  ^m1  x₂  ^m2  ...  x_k  ^mk

 x₁W₁  x₂W₂  ...  x_kW_k 

n n n

ekanini topamiz. Demak,

 x₁ p₁  x₂ p₂  ...  x_k p_k  M


x  M .

Bu munosabat  tasodifiy miqdorning matematik qutilishi shu tasodifiy miqdor kuzatilayotgan qiymatlarining o`rta arifmetik qiymatiga taqriban teng ekanini ko`rsatadi

(shuning uchun ham M ni ko`pincha  tasodifiy miqdorning o`rtacha qiymati deb yuritiladi).

Misollar. 1. Binomial qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi topilsin.


n

n

n

n
echish. Bu holda, ma`lumki,  diskret tasodifiy miqdor 0,1,2,…,k,…,p qiymatlarni mos ravishda

n
С ⁰ p⁰ 1  p^n0 ,

С¹ p1  p^n1,

...,

С^k p^k 1  p^nk ,

...,

С^n1 p^n11  p,

Сⁿ pⁿ 1  p⁰

ehtimollar bilan qabul qiladi.

 diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi ta`rifga binoan

M  0  С ⁰ p⁰ 1  p^n0 1 С¹ p1  p^n1  ...  kС^k p^k 1  p^nk 


n

n
n n n

ⁿ  ⁿ  ⁿ

bo`ladi.

• 
  ...nС ⁿ pⁿ 1  p^nn  kС^k p^k 1  p^nk  kС^k p^k 1  p^nk
  

k 0 k 1

Endi bu tenglikning o`ng tomonidagi yig`indini hisoblaymiz.