Ehtimol va uni hisoblash usullari

1––2––3

n та


A A ... A A

1–2–3

n та

(uchinchi tajribada A ro`y berdi),
(n - tajribada A ro`y berdi).

Bu murakkab erkli hodisalarning ehtimollarni ko`paytirish teoremasiga asosan

РА А А...А РАРА...РА рq  q...q  pq^n1

…………………………………………………….

РА А...А А РАРА...РАРА  pq^n1 .


 
p ta tajribada A hodisaning bir marta ro`y berish ehtimoli birgalikda bo`lmagan hodisalar uchun ehtimollarni qo`shish teoremasiga asosan

Р_n 1  Р А А А...А  А A А...А  А А A А...А  ...  А А...А A 

 РА А А...А РА A А...А PА А...А A рq^n1  рq^n1 


n
 ...  рq^n1  nрр^n1  C¹ рq^n1.

bo`ladi. Demak,

Р_n 1  C¹ рq^n1.

n
Aytaylik, p ta tajribada A hodisasi ikki marta ro`y bersin. Bu holda quyidagi

А А А А... А,


А А A А... А,


А А... А A А

murakkab hodisalardan biri ro`y berdi. Ularning soni

nn  1 <sub> C 2

2</sub> n

bo`lib, har birining ehtimoli marta ro`y berish ehtimoli

_p 2_qn2

ga teng bo`ladi. Yuqoridagidek, p ta tajribada A hodisaning k

n
ga teng bo`lishi ko`rsatiladi.

Р_n k   C^k р^kq^nk

(23.11)

(23.11) formula Bernulli formulasi deb ataladi.

p ta tajribada A hodisa ro`y bermasligi mumkin, bir marta, ikki marta va h.k., p marta ro`y berishi mumkin. Bunday hodisalar yig`indisi albatta muqarrar hodisa bo`ladi. Shuning uchun ularning ehtimollari yig`indisi 1 ga teng bo`ladi. Demak,

Р_n 0 Р_n 1 Р_n 2 ...  Р_n n  1, ya`ni


_ P_n k   1.

k 0

Misol. Har bir detalning yaroqli bo`lish (A hodisa) ehtimoli 0,8 ga teng. Tayyorlangan 5 detaldan 3 tasining yaraqli bo`lish ehtimoli topilsin.

echish. Masala shartiga binoan

n  5, k  3, PA  p  0,8, PA q  1 p  0,2


5!
bo`lishini aniqlaymiz. Unda (23.11) Bernulli formulasiga ko`ra

5
P₅ 3  C³  0,8  1 0,8² 

_{ }  0,8  0,2²  0,2048.

3! 5  3 !
23.3-eslatma. Endi erkin tajribalar ketma-ketligida hodisaning ro`y berish sonini  bilan belgilab, quyidagi hodisalarni kiritamiz va ularning ehtimollarini yozamiz:

1. 
   hodisaning k dan kam marta ro`y berish hodisasini 0    k 1 desak, uning ehtimoli
   

k 1

P_n 0    k 1 _ P_n m

m0

bo`ladi;

2. 
   hodisaning k dan ko`p marta ro`y berish hodisasini k  1    n
   

ehtimoli
desak, uning

bo`ladi.

P_n k 1    n


_ P_n m

mk 1

3. 
   
   n
   
   hodisaning kamida k marta ro`y berish hodisasi k    n ning ehtimoli
   

P_n k    n _ P_n m

mk

bo`ladi.

4. 
   
   k
   
   hodisaning ko`pi bilan k marta ro`y berish ehtimoli
   

P_n 0    k _ P_n m

m0

bo`ladi.

5. 
   hodisaning kami bilan k₁ marta, ko`pi bilan k<sub>2</sub> marta ro`y berish hodisasini
   

k₁    k₂ desek, uning ehtimoli

bo`ladi.

P_n k₁    k₂

k<sub>2

</sub> P_n m

mk₁

Misollar. 1) chigitning unuvchanligi 10% bo`lsa, ekilgan 4 ta chigitdan: a) uchtasining unib chiqishi; b) hech bo`lmaganda ikkitasining unib chiqish ehtimolini toping.

echish. a) shartga ko`ra p = 4, k = 3, r = 0,8, q = 0,2. Bernulli formulasiga ko`ra


4
Р₄ 3  С³0,8³  0,2  0,4096;

b) A hodisa ekilgan 4 ta chigitdan hech bo`lmaganda ikkitasining unib chiqishini, ya`ni 2 tasi, yoki 3 tasi, yoki 4 tasi unib chiqishiki bildirsin. Ehtimollarni qo`shish teoremasiga ko`ra:

R(A)= R₄{yoki 2, yoki 3, yoki 4}=R₄(2)+R₄(3)+R₄(4).

R₄(3) ehtimol a) bandda hisoblangan;

4
Р₄ 2  С ² 0,8²  0,2²  0,1536;


4
Р₄ 3  С ⁴ 0,8⁴  0,2⁰  0,4096.

Demak, РА  0,9728 .

Endi (23.11) Bernulli formulasining tahlili bilan shug`ullanamiz. Ravshakki, berilgan tayin p va r da

n
Р_n k   C^k р^kq^nk

( k = 0, 1, 2, . . . , p)

ning qiymati k ga bog`liq, ya`ni k ning funktsiyasi bo`ladi. Bunda k o`zgaruvchining k=0,

k=1, k=2, …, k=n qiymatlarida R_n(k) funktsiyaning qiymatlari ushbu

Р_n 0,

P1,

P2,

...,

P_n n

(23.12)

sonlar ketma-ketligidan iborat bo`ladi. Bu (23.12) dagi sonlardan tayinlangan p uchun qaysi biri eng katta bo`ladi, ya`ni A hodisa p ta erkli sinashda ro`y berishlar soninnng qanday qiymatlarida R_p(k) eng katta ehtimolga ega bo`ladi, degan savolga javob berish masalasini o`rganamiz.

Shu maksadda ushbu

P_n k 1

P_n k 

nisbatni qaraymiz. Ravshanki,

Р_n k   C^k р^k q^nk 

_ ^n! _ p^k 1  p^nk ,

n
_{Рn k 1  C}k 1 _рk 1_qnk 1 _{ }

k! n  k !

n!
_pk 1_{1  p}^{nk 1} _.

U holda

n

P_n k  1 _


k 1!n  k 1!

n! p^{k 1}1  p^{nk 1}  k!n  k !

_ n  k _ p

bo`ladi.

Agar

ya`ni

P_n k 

k 1!n  k 1!n! p^k 1  p^nk

P_n k 1 _{ 1,}

P_n k 

k  1 1  p

n  k _

k  1

^p  1 1  p

(23.13)

bo`lsa, u holda P<sub>n</sub> k 1  P<sub>n</sub> k  bo`ladi.

k ning qanday qiymatlarida nisbatan echamiz:

P_n k 1  P_n k 

bo`lishini bilish uchun (23.13) tengsizlikni k ga

n  k _

k  1

^p  1 

1  p

n  k p  k 11  p 

np  kp  k 1  p 1  p 

  kp  k1  p  1  p np   k  1  p np 

k  np  1  p.

Demak, k  np  1  p bo`lganda P<sub>n</sub> k 1  P<sub>n</sub> k  bo`ladi.

Shunday qilib, k o`zgaruvchining qiymatlari np  1  p sondan kichik bo`lganda

Р_n k 

ehtimol o`sib bordi (ya`ni Р_n k  funktsiya o`suvchi bo`ladi).

Xuddi shunga o`xshash, k  np  1  p bo`lganda P_n k 1  P_n k  bo`lishini ko`rsatish mumkin.

Shunday qilib, k o`zgaruvchining qiymatlari np  1  p sondan katta bo`lib borganda

Р_n k 

ehtimol kichiklashib boradi (ya`ni Р<sub>n</sub> k  funktsiya kamayuvchi bo`ladi). k o`zgaruvchining qiymati

k  np  1  p bo`lganda esa P<sub>n</sub> k 1  P<sub>n</sub> k  bo`ladi.

Shunday qilib, k o`zgaruvchi 0, 1 , 2 , … , n qiymatlarni qabul qila borib, uning qiymati

np  1  p songa etguncha Р_n k  ning qiymati o`sa boradi, k ning qiymati np  1  p sondan

oshganda esa Р_n k  ehtimol kamaya boradi. Bu holni chizma bilan tasvirlash mumkin (142- a, chizma).

Endi p ta tajribada A hodisa ro`y berishining eng katta ehtimolli sonini topamiz. Aytaylik, bu eng katta ehtimol k o`zgaruvchining k₀ qiymatida bo`lsin. Unda yuqorida aytilganlarga ko`ra, bir tomondan,

ikkinchi tomondan esa

P_n k₀ 1  P_n k₀ , (23.13)

bo`ladi.

(23.13) munosabat

P_n k₀  1  P_n k₀  (23.14)

k₀  np  1  p , (23.14) munosabat esa k₀ 1  np  1 p bo`lganda

bajarilishini yuqoridagidek ko`rsatish mumkin.

Demak, eng katta ehtimolli k₀ son ushbu

np  1  p  k₀  np  p

tengsizliklarni qanoatlantirar ekan. Bu tengsizlikni qanoatlantiradigan butun sonlar bog`liq bo`ladi:

np  1  p

(23.15)

songa

1. 
   Agar np  1  p kasr son bo`lsa, u holda (23.15) tengsizlikni qanoatlantiradigan k₀ son bitta
   

bo`ladi (142-b, chizma).

2. 
   agar np  1  p butun son bo`lsa, u holda (23.15) tengsizliklarni qanoatlantiradigan sonlar
   

ikkita bo`ladi. Demak, bu holda eng katta ehtimolli son ikkita bo`ladi.

1-misol. Texnik nazorat bo`limi 24 ta detaldan iborat guruhni tekshirmoqda. Detalning yaroqli standartga muvofiq bo`lish ehtimoli 0,6 ga teng. Yaroqli deb tan olinadigan detalning eng katta ehtimolli soni topilsin.

echish. Shartga ko`ra n = 24, r = 0,6 bo`ladi. Unda

np  1  p = 240,6 - (1 - 0,6)= 14,4 - 0,4 = 14,

pr + r = 240,6 + 0,6= 14,4 + 0 , 6 = 15

bo`lib, eng katta ehtimolli k<sub>0</sub> son (23.15) munosabatga ko`ra 14  k₀  15 tengsizliklarni qanoatlantirishi kerak. Demak, bu munosabatdan ko`rinadiki, eng katta ehtimolli son ikkita bo`ladi: k₀

= 14, k₀ + 1 = 15.

n
6- §. Muavr — Laplasning lokal va integral teoremalari

Bernulli sxemasida R_p(k) extimolni topish uchun ushbu

Р_n k   C^k р^k 1  р^nk

formulaga ega bo`lgan edik. Bu formula sodda bo`lsa ham undan, ayniqsa, tajribalar soni

katta bo`lganda foydalanish ancha qiyin bo`ladi. Natijada bu ifodani o`ziga qaraganda soddaroq va ayni paytda hisoblash uchun oson bo`lgan ifoda bilan taqribiy ifodalash masalasi tug`iladi. Bu masala ba`zi hollar uchun Muavr — Laplasning l o k a l v a i n t e g r a l teoremasi yordamida hal etiladi. Quyida ularni isbotsiz keltiramiz.