k 1
kСk p
k 1
pnk
k 1
k n! p k!n k !
k 1
pnk
k 1
n! p
k 1!n k !
k 1
pnk
n
k 1
npn 1! p
k 1! n k !
k 11
pn k
np
k 1
n 1! p
k 1! n k !
k 11
pn k .
(25.2) tenglikda k 1 ni m bilan almashtiramiz. Unda
k 1
yig`indi quyidagi ko`rinishga keladi:
n 1! p
k 1! n k !
k 11
pn k
k 1
n 1! p
k 1!n k !
n1
k 11
nk n1 n 1!
pm! n m 1 !
p
m0
m 1
pn1m
(25.3)
C
m
n1
pm 1 pn1m p 1 pn1 1n1 1
m0
n
(25.2) va (25.3) munosabatlardan
k 1
kСk pk 1 p nk n p
n
n
n
bo`lishini topamiz. Natijada
kelib chiqadi.
M
k 1
kСk pk 1 p nk np
Demak, binomial qonun bilan taqsimlangan diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
2. Puasson qonuni bo`yicha taqsimlangan tasodifiy mikdorning matematik kutilishi topilsin.
echish. Bu holda, ma`lumki, tasodifiy miqdor 0, 1, 2, …, n qiymatlarni mos
ravishda
е , 0!
е , 1!
...,
е ,
n
n!
...
ehtimollar bilan qabul qiladi. Matematik kutilish
0
ta`rifiga ko`ra
M 0
0
0!
е
1
е
1!
2
2
2!
е
... n
n
n!
k 1
е
...
bo`ladi. Uni quyidagicha
k 1
k
k
k 1
M k е
k!
k 1
е k 1! е
k 1!
yozib olamiz. Qatorlar nazariyasidan, ma`lumki,
k 1
k 1
bo`ladi.
M е
k 1! е
е
(25.4)
Endi uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi tushunchasi bilan tanishamiz. Faraz qilaylik, uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi r(x) bo`lsin.
25.1-ta`rif. Ushbu
M
xpxdx
(25.5)
miqdor uzluksiz tasodifiy miqdorning matemagik kutilishi M
deb ataladi.
Demak, uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi mavjud bo`lishi uchun (25.5) xosmas integral absolyut yaqinlashuvchi bo`lishi kerak.
Misollar. 1. Tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi topilsin.
echish. Tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi ifodasini matematik
kutilish ifodasi
M
xp x dx
ga qo`yib, hisoblaymiz:
a
b a
b 1
M
xp x dx xp x dx xp x dx xp x dx x 0 dx b a xdx
a b a
1 b
1 2 2 b a
b
x 0 dx b a xdx
2 b a b a 2 .
b a a
Demak, tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi:
M a b .
2
2. Normal qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi topilsin.
echish. Normal qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi ifodasini (6- § ga qarang) matematik kutilish ifodasiga qo`ysak,
M
x
dx
bo`ladi. Endi bu integralni hisoblaymiz. t x a
almashtirish bajaramiz.
1
x а
1
x
dx
t a
t dt
t t dt
at dt tt dt a t dt.
M tt dt a t dt.
1
t dt
t 2
e 2 dt 1,
1
t t dt
te
2 dt
0 t 2
t 2
t 2
t 2
1 te
2 dt
te 2 dt 1 te 2 dt te 2 dt 0
0 0 0
bo`lishini e`tiborga olsak, unda
M 0 a 1 a
bo`lishini topamiz.
Shunday qilib, normal qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik
kutilishi M a bo`ladi.
Xulosa qilib bunday aytish mumkin: tasodifiy miqdorning matematik kutilishi shunday sonni ifodalaydiki, bu son tasodifiy miqdor qiymatlarining o`rta arifmetigi bo`lib, uning atrofida tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlari joylashgan bo`ladi.
Endi tasodifiy miqdor matematik kutilishining xossalarini keltiramiz: 1°. Agar S o`zgarmas son bo`lsa, MS = S bo`ladi.
2°. tasodifiy miqdor, S — o`zgarmas son bo`lsa, u holda
3°. va tasodifiy miqdorlar berilgan bo`lsin. Unda
M M М
M С СM
bo`ladi.
bo`ladi.
4°. Agar a va b o`zgarmas sonlar bo`lsa, u holda
M a b aM b
bo`ladi.
5°. Agar va o`zaro bog`liq bo`lmagan tasodifiy miqdorlar bo`lsa, u xolda M M М
bo`ladi.
Endi keltirilgan xossalardan ayrimlarining isbotini keltiramiz:
25.3-ta`rif.
kabi belgilanadi:
M M 2
miqdor tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb ataladi va D
D M M 2.
Yuqorida keltirilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishining xossalaridan foydalanib, D
uchun boshqa ifoda topamiz:
D M M 2 M 2 2M M 2 M 2 2M M
M 2 M 2 2M 2 M 2 M 2 M 2.
Demak,
D M 2 M 2.
(25.6)
Misollar. 1. Binomial qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy mikdorning dispersiyasi topilsin.
n
n
echish. Ma`lumki, bu tasodifiy miqdor 0, 1, 2, …, p qiymatlarni mos ravishda
n
С 0 p0 1 p n0 ,
С1 p1 p n1,
...,
Сn pn 1 p nn
ehtimollar bilan qabul qiladi, uning
matematik kutilishi
M np .
Yuqoridagi (25.6) formuladan foydalanish maqsadida
n
M 2 ni topamiz. Ta`rifga ko`ra
n
M 2
k 0
k 2Сk pk 1 p nk
bo`ladi. Bu tenglikning o`ng tomonidagi yig`indini hisoblaymiz:
M 2 k
k 0
2Сk p
k 1
p nk k
k 0
2 n!
k! n k !
pk
qn k
n
k 1
knn 1! p pk 1 qn1 k 1
k 1! n 1 k 1!
np
k 1
np
k 2
k 1 1n 1! pk 1 qn1k 1
k 1! n 1 k 1!
k 1n 1n 2! p pk 2 qn2k 2
k 1! n 2 k 2!
k 1
n 1! pk 1 qn1 k 1
k 1! n 1 k 1!
(chunki p qn2 1,
Demak,
nn 1p2 p qn2 npp qn1
n2 p2 np2 np np1 p n2 p2,
p q n1 1).
M 2 np1 p n2 p2.
(25.6) munosabatdan foydalanib topamiz:
D M 2 M 2 np1 p n2 p2 np 2 np1 p.
Demak, binomial qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning dispersiyasi
D np1 p
bo`ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |