Ehtimol va uni hisoblash usullari



Download 385,07 Kb.
bet13/21
Sana22.01.2022
Hajmi385,07 Kb.
#401231
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   21
Bog'liq
amaliy matematika mustaqil 2 Ehtimol va uni hisoblash usullari...


k 1

k p

k 1 


pnk

k 1

k n! p k!n k !

k 1


pnk

k 1

n! p

k 1!n k !

k 1

pnk



n



k 1

npn 1! p

k 1!n k !

k 11

pnk


np

k 1

n 1! p

k 1!n k !

k 11

pnk .

(25.2) tenglikda k 1 ni m bilan almashtiramiz. Unda




k 1

yig`indi quyidagi ko`rinishga keladi:



n 1! p

k 1!n k !

k 11 

pnk




k 1

n 1! p

k 1!n k !

n1

k 11

nk n1 n 1!


pm! n m 1 !

p
m0

m 1

pn1m

(25.3)


C

m
n1

pm 1 pn1m  p  1 pn1  1n1  1

m0

n

(25.2) va (25.3) munosabatlardan



k 1



k pk 1  pnk n p


n

n
n

bo`lishini topamiz. Natijada

kelib chiqadi.



M 



k 1



k pk 1 pnk np

Demak, binomial qonun bilan taqsimlangan  diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi

ga teng bo`ladi.



M  np

2. Puasson qonuni bo`yicha taqsimlangan tasodifiy mikdorning matematik kutilishi topilsin.

echish. Bu holda, ma`lumki,  tasodifiy miqdor 0, 1, 2, …, n qiymatlarni mos

ravishda

е , 0!

е , 1!

...,


е ,


n
n!

...


ehtimollar bilan qabul qiladi. Matematik kutilish


0
ta`rifiga ko`ra

M  0 


0
0!
е
 1

е

1!

 2 




2
2!
е

 ...  n




n
n!

k 1
е
 ...

bo`ladi. Uni quyidagicha


k 1
k

 k



k 1




M  k е


k!
k 1

е k 1! е

k 1!

yozib olamiz. Qatorlar nazariyasidan, ma`lumki,


k 1


k 1 

Natijada


k 1! е .


k 1
k 1

 



bo`ladi.


M  е

k 1! е

е  

(25.4)

Endi uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi tushunchasi bilan tanishamiz. Faraz qilaylik,  uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi r(x) bo`lsin.

25.1-ta`rif. Ushbu

M 



xpxdx


(25.5)


miqdor  uzluksiz tasodifiy miqdorning matemagik kutilishi M

deb ataladi.



Demak, uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi mavjud bo`lishi uchun (25.5) xosmas integral absolyut yaqinlashuvchi bo`lishi kerak.

Misollar. 1. Tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi topilsin.

echish. Tekis taqsimlangan  tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi ifodasini matematik




kutilish ifodasi

M 

xpxdx



ga qo`yib, hisoblaymiz:




 a

   


b  a

   


b 1

M 

xp x dx xp x dx xp x dx xp x dx x  0  dx b a xdx

  a b  a

 1 b

1 2 2 b a


  • b
    x  0  dx b a xdx

2b ab a 2 .

b a a

Demak, tekis taqsimlangan  tasodifiy miqdorning matematik kutilishi:

M  a b .

2

2. Normal qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi topilsin.

echish. Normal qonun bo`yicha taqsimlangan  tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi ifodasini (6- § ga qarang) matematik kutilish ifodasiga qo`ysak,



 1

x а



M 

x  





dx



bo`ladi. Endi bu integralni hisoblaymiz. t x a

almashtirish bajaramiz.



 1

x а

   1    



x  





dx







t a



t dt



tt dt




at dt   tt dt a t dt.


Demak,

  
 



M   tt dt a t dt.

Agar

 



1


t dt



 t 2



e 2 dt  1,








1
tt dt







te




  • t 2

2 dt

 0 t 2

 t 2


 



t 2

 t 2




1 te

2 dt

te 2 dt 1 te 2 dt te 2 dt  0





  








0 0 0

bo`lishini e`tiborga olsak, unda

M    0  a 1  a

bo`lishini topamiz.



Shunday qilib, normal qonun bo`yicha taqsimlangan  tasodifiy miqdorning matematik

kutilishi M  a bo`ladi.

Xulosa qilib bunday aytish mumkin: tasodifiy miqdorning matematik kutilishi shunday sonni ifodalaydiki, bu son tasodifiy miqdor qiymatlarining o`rta arifmetigi bo`lib, uning atrofida tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlari joylashgan bo`ladi.

Endi tasodifiy miqdor matematik kutilishining xossalarini keltiramiz: 1°. Agar S o`zgarmas son bo`lsa, MS = S bo`ladi.



2°.  tasodifiy miqdor, S o`zgarmas son bo`lsa, u holda

3°.  va  tasodifiy miqdorlar berilgan bo`lsin. Unda



M      M  М

M С   СM

bo`ladi.

bo`ladi.

4°. Agar a va b o`zgarmas sonlar bo`lsa, u holda



M a  b  aM  b

bo`ladi.

5°. Agar  va  o`zaro bog`liq bo`lmagan tasodifiy miqdorlar bo`lsa, u xolda M     M  М



bo`ladi.

Endi keltirilgan xossalardan ayrimlarining isbotini keltiramiz:



25.3-ta`rif.

kabi belgilanadi:



M   M 2

miqdor  tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb ataladi va D


D  M   M 2.

Yuqorida keltirilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishining xossalaridan foydalanib, D


   
uchun boshqa ifoda topamiz:

D  M   M 2 M 2  2M   M  2 M 2  2M  M  

M  2 M  2  2M  2  M  2 M  2  M  2.

Demak,

D  M  2  M 2.
(25.6)

Misollar. 1. Binomial qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy mikdorning dispersiyasi topilsin.


n

n
echish. Ma`lumki, bu tasodifiy miqdor 0, 1, 2, …, p qiymatlarni mos ravishda


n
С 0 p0 1  pn0 ,

С1 p1  pn1,

...,


Сn pn 1  pnn

ehtimollar bilan qabul qiladi, uning



matematik kutilishi

M  np .

Yuqoridagi (25.6) formuladan foydalanish maqsadida

n

M2 ni topamiz. Ta`rifga ko`ra


n
M2



k 0



k 2Сk pk 1 pnk

bo`ladi. Bu tenglikning o`ng tomonidagi yig`indini hisoblaymiz:




M2k

k 0

2Сk p



k 1 


pnk k

k 0

2 n!

k!n k !

pk

qnk



n



k 1

knn 1! p pk 1 qn1k 1

k 1!n 1  k 1!


np



k 1

np



k 2

k 1 1n 1! pk 1 qn1k 1

k 1!n 1 k 1!

k 1n 1n 2! p pk 2 qn2k 2

k 1!n  2 k  2!




  • np

k 1

n 1! pk 1 qn1k 1

k 1!n 1 k 1!

(chunki p qn2  1,

Demak,

nn 1p2p qn2 npp qn1



n2 p2np2np np1  p n2 p2,

p qn1  1).

M2np1 p n2 p2.


 
(25.6) munosabatdan foydalanib topamiz:

D  M 2  M 2 np1  p n2 p2  np2 np1  p.

Demak, binomial qonun bilan taqsimlangan  tasodifiy miqdorning dispersiyasi



D  np1  p

bo`ladi.


Download 385,07 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   21




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish