Ehtimol va uni hisoblash usullari



k 1

kС^k p

^k 1 


_pnk _{ }

k 1

_k n! _p k!n  k !

^k 1


_pnk _{ }

k 1

n! _p

k 1!n  k !

^k 1

_pnk _

n

 _

k 1

npn 1! _p

k 1!n  k !

^{k 1}1

_pnk _


np_

k 1

n 1! _p

k 1!n  k !

^{k 1}1

_pnk _.

(25.2) tenglikda k 1 ni m bilan almashtiramiz. Unda



k 1

yig`indi quyidagi ko`rinishga keladi:

n 1! _p

k 1!n  k !

^{k 1}1 

_pnk



k 1

n 1! _p

k 1!n  k !

n1

^{k 1}1

_{nk } ^n1 n 1!


^  ^pm! n  m 1 !

p
m0

^m 1

_pn1m _

(25.3)

C

m
^  ^n1

p^m 1 p^n1m  p  1 p^n1  1^n1  1

m0

n

(25.2) va (25.3) munosabatlardan



k 1

kС^k p^k 1  p^nk  n  p


n

n
n

bo`lishini topamiz. Natijada

kelib chiqadi.

M 



k 1

kС^k p^k 1 p^nk  np

Demak, binomial qonun bilan taqsimlangan  diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi

ga teng bo`ladi.

M  np

2. Puasson qonuni bo`yicha taqsimlangan tasodifiy mikdorning matematik kutilishi topilsin.

echish. Bu holda, ma`lumki,  tasodifiy miqdor 0, 1, 2, …, n qiymatlarni mos

ravishda

^ _е _, 0!

^ _е _, 1!

...,

^ _е _,


n
n!

...

ehtimollar bilan qabul qiladi. Matematik kutilish

0
ta`rifiga ko`ra

M  0  ^


0
0!
_е
 1

^ _е

1!

 2  ^

2
2!
_е

 ...  n  ^

n
n!

k 1
_е
 ...

bo`ladi. Uni quyidagicha


k 1
^ _k _

 ^{ k}

_ ^ _k 1

M  _k  е


k!
k 1

^{ е }k 1! <sup>е

  </sup>k 1!

yozib olamiz. Qatorlar nazariyasidan, ma`lumki,


k 1


_k 1  _

Natijada

^k 1! ^{е .}

k 1
_ ^ _k 1

 

bo`ladi.

M  е

^k 1! ^{ е}

е  

(25.4)

Endi uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi tushunchasi bilan tanishamiz. Faraz qilaylik,  uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi r(x) bo`lsin.

25.1-ta`rif. Ushbu

M 



_ xpxdx


(25.5)

miqdor  uzluksiz tasodifiy miqdorning matemagik kutilishi M

deb ataladi.

Demak, uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi mavjud bo`lishi uchun (25.5) xosmas integral absolyut yaqinlashuvchi bo`lishi kerak.

Misollar. 1. Tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi topilsin.

echish. Tekis taqsimlangan  tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi ifodasini matematik



kutilish ifodasi

M 

_ xpxdx



ga qo`yib, hisoblaymiz:

 a

   

b  a

   

^b 1

M 

_ xp x dx  _ xp x dx  _ xp x dx  _ xp x dx  _ x  0  dx  _{ b  a} xdx

  a b  a

 ₁ b

1 _{ 2 2 } b  a

• 
  
  b
  _ x  0  dx  _{b  a } xdx 
  

^ 2b  a ^{b  a } 2 ^.

b a a

Demak, tekis taqsimlangan  tasodifiy miqdorning matematik kutilishi:

M  ^{a  b} .

2

2. Normal qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi topilsin.

echish. Normal qonun bo`yicha taqsimlangan  tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi ifodasini (6- § ga qarang) matematik kutilish ifodasiga qo`ysak,


 ₁

 ^{x  а} 

M 

x  _



 ^{ }

_dx



bo`ladi. Endi bu integralni hisoblaymiz. t  ^{x  a}



almashtirish bajaramiz.


 ₁

 ^{x  а} 

^   ¹    


x  _

 ^{ }



_dx 



^ 



t  a

_  t dt 



_t t dt 



 _ at dt   _tt dt  a _t dt.

Demak,

  
 

M   _tt dt  a _t dt.

Agar

 

_{ } 1


_ t dt 



 _ ^{t 2}

_ e ² dt  1,





_{ } 1
_t t dt 





_ te



• 
  _t 2
  

² dt 

 0 _ ^{t 2}

 _ ^{t 2} 

 

_{ t} 2

 _ ^{t 2} 

 ^{1 } _te

² dt 

_ te ² dt^  ^{1 } _ te ² dt  _ te ² dt^  0



_

  






0 _{ } 0 0 _

bo`lishini e`tiborga olsak, unda

M    0  a 1  a

bo`lishini topamiz.

Shunday qilib, normal qonun bo`yicha taqsimlangan  tasodifiy miqdorning matematik

kutilishi M  a bo`ladi.

Xulosa qilib bunday aytish mumkin: tasodifiy miqdorning matematik kutilishi shunday sonni ifodalaydiki, bu son tasodifiy miqdor qiymatlarining o`rta arifmetigi bo`lib, uning atrofida tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlari joylashgan bo`ladi.

Endi tasodifiy miqdor matematik kutilishining xossalarini keltiramiz: 1°. Agar S o`zgarmas son bo`lsa, MS = S bo`ladi.

2°.  tasodifiy miqdor, S — o`zgarmas son bo`lsa, u holda

3°.  va  tasodifiy miqdorlar berilgan bo`lsin. Unda

M      M  М

M С   СM

bo`ladi.

bo`ladi.

4°. Agar a va b o`zgarmas sonlar bo`lsa, u holda

M a  b  aM  b

bo`ladi.

5°. Agar  va  o`zaro bog`liq bo`lmagan tasodifiy miqdorlar bo`lsa, u xolda M     M  М

bo`ladi.

Endi keltirilgan xossalardan ayrimlarining isbotini keltiramiz:

25.3-ta`rif.

kabi belgilanadi:

M   M ²

miqdor  tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb ataladi va D

D  M   M ².

Yuqorida keltirilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishining xossalaridan foydalanib, D


   
uchun boshqa ifoda topamiz:

D  M   M ²  M  ²  2M   M  ²  M  ²  2M  M  

 M  ²  M  ²  2M  ²  M  ²  M  ²  M  ².

Demak,

D  M  ²  M ².
(25.6)

Misollar. 1. Binomial qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy mikdorning dispersiyasi topilsin.


n

n
echish. Ma`lumki, bu tasodifiy miqdor 0, 1, 2, …, p qiymatlarni mos ravishda

n
С ⁰ p⁰ 1  p^n0 ,

С¹ p1  p^n1,

...,

Сⁿ pⁿ 1  p^nn

ehtimollar bilan qabul qiladi, uning

matematik kutilishi

M  np .

Yuqoridagi (25.6) formuladan foydalanish maqsadida

n

M ² ni topamiz. Ta`rifga ko`ra

n
M ² 



k 0

k ²С^k p^k 1 p^nk

bo`ladi. Bu tenglikning o`ng tomonidagi yig`indini hisoblaymiz:

M ²  _k

k 0

2_Сk _p

^k 1 


p^nk  _k

k 0

₂ n! _

k!n  k !

p^k 

_qnk _

n

 _

k 1

^{knn 1!} _{p  p}k 1 _{ q}n1k 1 _

k 1!n 1  k 1!

 np_

k 1

 np _

k 2

k 1 1n 1! _{ pk 1  qn1k 1 }

k 1!n 1 k 1!

k 1n 1n  2! _{p  pk 2  qn2k 2 }

k 1!n  2 k  2!

• 
  np_
  

k 1

^{n 1!} _{ p}k 1 _{ q}n1k 1 _

k 1!n 1 k 1!

(chunki p  q^n2  1,

Demak,

 nn 1p² p  q^n2  npp  q^n1 

 n² p²  np²  np  np1  p n² p²,

p  q^n1  1).

M ²  np1 p n² p².

 
(25.6) munosabatdan foydalanib topamiz:

D  M  ²  M ²  np1  p n² p²  np²  np1  p.

Demak, binomial qonun bilan taqsimlangan  tasodifiy miqdorning dispersiyasi

D  np1  p

bo`ladi.