Ehtimol va uni hisoblash usullari

11-§. Katta sonlar konuni..
Faraz etaylik

X₁,X₂,...,X_N (1)

lar biror a-kiymatga ega bulgan iktisodiy kursatkichni ulchash natijasida paydo bulgan mikdorlar bulsin. Bu kiymatlarning xar biri a va unga kushilgan biror mikdor yigindiga teng buladi. Shu sababli kupincha amalda a -ning kiymati sifatida

₁ N


N


ni oladilar.

X_N= __

 1

(2)

Bu erda shunday savollar tugiladi. a= X_N- desak buladimi?

a- X_N ayirma kancha buladi va u kaysi kiymatdan kichik bulishi kerak?

Tekshirishlar natijasi tasodifiy mikdorlar bulganligi sababli. {| X_N -a|> } biror xodisa buladi.

Agar bu xodisani A bilan belgilasak, ya`ni

A={| X_N -a|>  } (3)

desak, A-ning yuzaga kelish extimoli R(A)- kanchalik kichik, unda R(A)=1-R(A) kanchalik birga yakin bulsa amalda A-ni kam yuzaga keladigan A-ni esa kupincha yuzaga keladigan xodisa desak buladi. Bu xolda  -ning katta kichikligiga kura

aX_N (4)

deb olsak buladi. Agar tekshirishlar natijasi (1) uzaro boglik bulmagan tasodifiy mikdorlar ketma- ketligini tashkil etsa, N-istalgancha katta son bulsa, istalgan kichik son  uchun R(A) istalgancha kichik son bular ekan. Ya`ni

f_N
lim P{| X  a| }  0 (5)

N 

buladi.

R(A)=R{|X_N-a|>  }-ning kichiklik darajasi  va konkret amaliy xolatga boglikdir.

Chebыshev tengsizligi X tasodifiy mikdor. Matematik kutilma a=MX va dispersiya  ²=DX ega, a va  ²- lar chekli,  >0 istalgancha kichik son bulsin.

Teorema. Agar X yukorida keltirilgan shartlarni bajaruvchi tasodifiy mikdor va  >0 istalgancha kichik son bulsa

buladi.

R{|X-a|> } ^ДХ

_ 2

(6)

buladi.

Isbot. A= R{|X-a|> }-belgilaymiz, g(x) - tasodifiy funktsiya kuyidagicha: 1, agar A- xodisa yuzaga kelsa

0, agar A - xodisa yuzaga kelsa.

Mg(x)=1 P(A)+0 P(A)=P(A)= R{|X-a|> } (7)

( x  a) ²

f(x)= _{ 2}

Shuning uchun

ni belgilaymiz va bu funktsiya f(X)0 va f(X) 1 A xodisa yuzaga kelsa.

Mg(x)Mf(x)=M[ buladi. (7) va (8) lardan:

( x  a) ²

_{ 2} ] 

M ( X  a) ²

_ 2

 ¹ DX

_ 2

(8)

R{|X-a|>  }= M(g(X)) Mf(X)= ¹

_ 2

DX , (6) yuzaga keladi.

6. 
   - tengsizlikni Chebыshev tengsizligi deyiladi.
   

Chebishev teoremasi. Agar X₁,X₂,...,X_N ,... tasodifiy mikdorlar ketma- ketligi juft- juft uzaro boglik bulmasalar dispersiyalari bir xil son bilan chegaralangan: DX_nC n1


N

1
bulsalar.