Ehtimol va uni hisoblash usullari

4-§. To`la ehtimol formulasi.

Bayes formulasi

Biror A hodisa p ta juft-jufti bilan birgalikda bo`lmagan N<sub>1</sub>, N<sub>2</sub>, ..., N<sub>p</sub> hodisalarning (gipotezalarning) bittasi va faqat bittasi bilangina ro`y berishi mumkin bo`lsin. Demak, birinchidan

A=AN₁ + AN₂, + ... + AN_p

ikkinchidan esa
bo`ladi.

АН_i  АН _j  V

i  j

Agar

Ehtimollarni qo`shish teoremasidan foydalanib topamiz:

R(A) = R(AN₁ + AN₂, + ... + AN_p) = R(AN₁ )+R(AN₂) + ... + R(AN_p).
R(AN₁ ) = R(N₁ )R(A/N₁ ),

R(AN₂) = R(N₂)R(A/N₂),

……………………….

R(AN_p) = R(N_p)R(A/N_p)

bo`lishini e`tiborga olsak, u holda ushbu tenglikka kelamiz:

n

R(A)=R(N₁)R(A/N₁) + R(N₂)R(A/N₂) +…+ R(N_p)R(A/N_p) = _ PH_k PA / H_k  .

k 1

Demak,



PA  _ PH_n PA / H_n  . (23.10)

k 1

Odatda (23.10) formula to`la ehtimol formulasi deb ataladi.

To`la ehtimol formulasidan murakkab hodisalarning ehtimollarini hisoblashda foydalaniladi.

Misol. Omborga 360 ta mahsulot keltirildi. Bulardan:

300 tasi bir korxonada tayyorlangan bo`lib, 250 tasi yaroqli mahsulot, 40 tasi 2-korxonada tayyorlangan bo`lib, 30 tasi yaroqli mahsulot, 20 tasi 3-korxonada tayyorlangan bo`lib, 10 tasi yaroqli mahsulot.

Ombordan tavakkaliga olingan mahsulotning yaroqli bo`lish ehtimoli topilsin. echish. Tavakkaliga olingan mahsulot uchun quyidagi gipotezalar o`rinli bo`ladi: N<sub>1</sub> — mahsulotning 1-korxonada tayyorlangan bo`lishi,

N₂ — mahsulotning 2-korxonada tayyorlangan bo`lishi, N<sub>3</sub> — mahsulotning 3-korxonada tayyorlangan bo`lishi. Ularning ehtimollari mos ravishda quyidagicha bo`ladi:

PH

_{ } 300 _ 5 _;

PH  

40 _ 1 _;

¹ 360 6

PH₃  

20

360

2

 ¹ .

18

360 9

Agar olingan mahsulotning yarokli bo`lishini A hodisa deb belgilasak, u holda bu hodisaning turli gipotezalar shartlari ostidagi ehtimollari quyidagicha bo`ladi:

PA / H₁

  ⁵ ;

6

PA / H₂

  ³ ;

4

PA / H₃

  ¹ .

2

Yuqorida topilganlarni to`la ehtimol formulasi (23.10) ga qo`yamiz:

PA  PH₁ PA / H₁  PH₂ PA / H₂  PH₃ PA / H₃  

 ⁵  ⁵  ¹  ³ 

1 _ 1 _ 29 _.

6 6 9 4 18 2 36

Aytaylik, birgalikda bo`lmagan N<sub>1</sub>, N<sub>2</sub>, …, N<sub>p</sub> hodisalarning to`la gruppasi berilgan bo`lib,

tajribani o`tkazishga qadar ularning har birining PH_i , i  1, n ehtimollari tayin qiymatga ega

bo`lsin. Tajriba natijasida A hodisa ro`y berdi degan shart ostida H_i i  1, n hodisalarning

ehtimollari tajribadan so`ng qanday bo`lishligi kuyidagicha topiladi: H_i

uchun ushbu

va A hodisalarning ko`paytmasi

formuladan

PAH_i   PAPH_i / A  PH_i PA / H_i 

PH<sub>i

/ A </sub> PH_i PA / H_i 

 
P A

munosabatga ega bo`lamiz. Bu munosabatga to`la ehtimol formulasini qo`llanib, quyidagini topamiz:

PH

/ A 

PH_i PA / H_i 

_ PH_i PA / H_i 

n

i
PH₁ PA / H₁  ...  PH_n PA / H_n  _

   

Bu formula Bayes formulasi deyiladi.

P H_i

i 1

P A / H_i

Misol. Yuqoridagi misolda tavakkaliga olingan mahsulotning yaroqli ekanligi ma`lum bo`lsa, uning birinchi korxonada tayyorlangan bo`lish ehtimolini toping.

echish. Masalada R(N/A) shartli ehtimolni topish talab qilinmoqda. Bu ehtimolni Bayes formulasidan foydalanib topamiz:

PH₁

29 5

_{/ A } PH₁ PA / H₁ 


 
P A

5

Endi

PA  ,

36

PH₁  

6

va PA / H₁ 

6

bo`lganligidan talab qilinayotgan

ehtimollik quyidagiga teng:

5 _ 5

PH<sub>1

/ A </sub> PH₁ PA / H₁  _{ 6 6}


 
P A ²⁹

36

_ 25 _.

29

5-§. O`zaro bog`liq bo`lmagan tajribalar ketma- ketligi.

Bernulli formulasi

Amaliy masalalarni hal etishda tajribalar odatda bir necha bor takrorlanadi. Buning natijasida tajribalar ketma-ketligi hosil bo`ladi. Masalan, yangi paxta navi yaratilganligini ma`lum kafolat bilan tasdiqlash uchun shu nav bilan bir necha yil tajribalar o`tkazilib, ular asosida yangi navning o`rtacha hosildorligi, tola chiqishligi, tez pisharligi, sifatliligi kabi muhim belgilari avvalgi navlarga qaraganda yuqori ekanligi ko`rsatiladi.

Ma`lumki, tajribalar o`tkazilishi natijasida tasodifiy hodisalar ro`y berdi. Agar tajriba natijasida biror tasodifiy hodisa ro`y berish ehtimoli boshqa tajriba natijasida kanday tasodifiy hodisa ro`y berganiga bog`liq bo`lmasa, bunday tajribalar ketma-ketligi o`zaro bog`lik bo`lmagan tajribalar delinadi.

Aytaylik, p ta tajriba o`tkazilgan bo`lib, ular quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

1. 
   tajribalar o`zaro bog`liq bo`lmasin;
   
2. 
   har bir tajriba natijasida yo A hodisa, yoki unga qarama-qarshi A hodisalardan biri ro`y bersin;
   
3. 
   har bir tajribada A hodisaning ro`y berishi ehtimoli o`zgarmas bo`lib, u PA  p ga teng
   

bo`lsin. U holda A hodisaning ro`y bermaslik ehtimoli, ya`ni qarama-qarshi hodisaning ro`y berish

ehtimoli PA q  1  p bo`ladi.

Bunday, ya`ni har bir bog`liqmas tajriba natijasida to`la gruppa tashkil qiladigan ikkita A va A hodisalardan faqat bittasi albatta ro`y beradi deb qaraladigan tajribalar ketma-ketligi Bernulli sxemasi deyiladi.

Ravshanki,

PA q  1  p

Demak, har bir tajriba natijasida A hodisaning ro`y berish ehtimoly PA  p , unga

qarama-qarshi A hodisaning ro`y berish ehtimoli PA q bo`lsin. Asosiy masala p ta erkli tajribada A

hodisasnning rosa k marta ro`y berishi ehtimolini topishdan iborat. Bu ehtimolni P_n k  bilan belgilaylik.

n
23.5-teorema. p ta erkli tajribada A hodisaning rosa k marta ro`y berish ehtimoli kuyidagi formula bilan hisoblanadi:

bunda

Р_n k   C^k р^kq^nk

(23.11)



C
_k n!

ⁿ k!n  k !^,

n! 1 2  3...n.

Bu teorema quyidagicha mulohaza bilan isbotlanadi:

Bog`liq bo`lmagai p ta tajribaning har birida kuzatilayotgan A hodisaning ro`y berish ehtimoli

r, ro`y bermaslik ( A —hodisaning ro`y berishi) ehtimoli q q  1  p bo`lsin.

Aytaylik, p ta tajribada A hodisa biror marta ham ro`y bermasin. Demak, birinchi tajribada A

hodisa, ikkinchi tajribada ham A hodisa, va hokazo, p- tajribada ham A hodisa ro`y bergan. Natijada ushbu

A A ... A.

1–2–3

n та

murakkab hodisaga ega bo`lamiz. Uning ehtimoli erkli hodisalar uchun ehtimollarni ko`paytirish teoremasiga asosan:

PA A ... A РAРA...РA qq...q  qⁿ.

1–2–3

n та

1––2––3

n та

123

n та

Bu holda, ya`ni p ta tajribada A hodisaning biror marta ham ro`y bermaslik extimoli

P0  qⁿ

bo`ladi.
Aytaylik, p ta tajribada A hodisa faqat bir marta ro`y bergan bo`lsin. Bunda quyidagi p ta

murakkab hodisaga ega bo`lamiz:

A A A ... A

1–2–3

n та

(birinchi tajribada A ro`y berdi),

A A A ... A

1–2–3

n та

(ikkinchi tajribada A ro`y berdi)

A A A A ... A