Ehtimol va uni hisoblash usullari

N
Unda lim P{| ¹ _ X  M (



_ X_ )|  }  0

(9)

buladi.

N  _{N  1}

^N  1

Isbot. (2) ni eslasak, (9) ifodadagi extimolni kuyidagi kurinishda ezish mumkin.

R(|X -MX |>  ). Bu ifoda Chebishev tengsizligiga asosan ¹

D( X

) kichik eki teng buladi.

N N
₁ N ₁ N

_ 2 N

1 C

N
D( X _N )  D( _ X_ ) 

 1

_{2 } D( X_ ) 


N
 1

_{N 2}  N  C  _N

buladi. Ya`ni

С

D( X _N )  _N
(10)

Buni biz dispersiyaning xossalaridan foydalanib yuzaga keltirdik. (bular: uzgarmas kupaytuvchini kvadratga kutarib dispersiya belgisidan tashkariga chikarish mumkin va juft -juft uzaro boglik bulmagan tasodifiy mikdorlar yigindisining dispersiyasi dispersiyalar yigindisiga teng degan xossalar)

Shunday kilib,

1 ^N 1 ^N 1 C

P(| _{N } X_  _{N } MX _ |  )  P(| X _N  MX _N |)   )  _{ 2} D( X _N )  _{ 2 N}

(11)

 1  1

buladi (11) da N limitga utsak (9) yuzaga keladi.

Chebishev teoremasi xam isbot buldi.

Bu teoremadan shunday natijaga erishish mumkin.

N
Natija. X biror matematik kutilish M(X)=a, chekli dispersiya D(X)=² ega bulsa va X₁,X₂,...,X_N, shu tasodifiy mikdor ustida utkazilgan N ta uzaro boglik bulmagan kuzatishlar natijalari bulsa, unda istalgan kichik >0 uchun lim P(| X  a|  )  1 buladi.

N 

Bu demak tekshirishlar soni N kancha katta bulsa 1 teng extimol bilan tasdiklash mumkin, X _N

va M(X)=a farki istalgancha kichik, ya`ni X_Na olish mumkin.

Bernulli teoremasi. Agar A xodisaning yuzaga kelish extimoli R(A)=r, M A xodisa ustida utkazilgan N uzaro boglik bulmagan tekshirishlar natijasida A ni yuzaga kelish soni bulsa, unda

xarkanday  0 uchun: lim P(| ^M  p|  )  0 buladi.

N  _N


n
Xinchin teoremasi. Faraz etaylik M(X)=a |a|<, X_n X-ni uzaro boglik bulmagan kuzatishlar natijasida xosil bulgan tasodifiy mikdorlar lim P(| Х  a|  )  0 buladi.

N 

Xarakteristik funktsiyalar xakida tushuncha.

Xarakteristik funktsiyalarning asosiy xossalari. Markaziy limit teorema.

Faraz kilaylik, X va U tasodifiy uzgaruvchilar bulsin. Z=X+iY -ni kompleks tasodifiy uzgaruvchi deyiladi, bu erda i-mavxumlik birligi bulib i=  1 , i²=-1 a+ib=Mx+iMy. Z-ning matematik kutilmasi MZ=a+ib buladi. Z₁ va Z₂ kompleks tasodifiy uzgaruvchilarning kupaytmasi Z₁ Z₂=(x_ix₂-u_iu₂)+i(x₁x₂-u₂u₁), agar

Z₁= x₁+ i u₁ va Z₂= x₂+ i u₂ bulsalar.

Matematik kutilishning xakikiy tasodifiy uzgaruvchilar uchun urinli bulgan xossalari kompleks sonli tasodifiy uzgaruvchilar uchun urinli bulib koladi. Masalan Z_k (k=1,2,...,n) kompleks sonli tasodifiy uzgaruvchilar bulsa M(Z₁+Z₂+...+Z_n)= M(Z₁)+M(Z₂)+...+M(Z_n) va M(SZ)=SMZ buladi va undan tashkari:

1. 
   Agar X₁,X₂,...,X_n erkli tasodifiy uzgaruvchilar. f₁,f₂,...,f_n- kompleks taosdifiy uzgaruvchilarni ifodalovchi funktsiyalari bulsa,
   

M f₁(x₁),f₂(x₂),,...,f_k(x_n) (1)

buladi, agar |M f_k(x_n)|< 1kn urinli bulsa.

2. 
   Agar M|Z|< bulsa, |MZ| M|Z| (2) buladi.
   

Ta`rif. X xakikiy tasodifiy uzgaruvchi bulsa, uning xarakteristik funktsiyasi deb Z =e^itX (i=  1 va -x(t) bilan belgilasak:

_x(t)= MZ= M e^itX (3)

Masalan 1) agar X- diskret xakikiy tasodifiy uzgaruvchi bulib,
Taksimot konuniga ega bulsa, uning xarakteristik funktsiyasi

n

buladi.

_x(t)= _

k 1

e^itXR_k (4)

2. 
   Agar X uzluksiz tasodifiy uzgaruvchi bulib f(x) -



buladi.

_x(t)= _ e^itX f ( x)dx



(5)

X tasodifiy uzgaruvchining xarakteristik funktsiyasi _x(t), t=0 , _x(0)=1 va |_x(t)|1 barcha -

x(t) t ning

(-,) dagi kiymatlari uchun tekis uzliksiz funktsiya.

Agar Z, r-nchi tartibli momentga ega bulsa, ya`ni M|X|^r - mavjud bulsa, unda _x(t), r-nchi tartibli xosilaga ega va

buladi.

buladi. Ya`ni

^(r)_x(0)=2^rM(X^r) (6)

Agar X₁,X₂,...,X_n -erkli tasodifiy uzgaruvchilar bulsa unda

 _{х1  х2 ... хn} (t)=  _х1 (t)  _х2 (t)_... _хn (t) (7)



_ _x (t)dt  , mavjud va f(x) X ning zichlik funktsiyasi bulsa



f(x)= ¹



_ e^2tx_x (t)dt

(8)

buladi.

^2 

12-§. Kup ulchovli tasodifiy mikdorlar

Kup xollarda utkazilaetgan tajribaning natijasi bizni kiziktiraetgan tasodifiy eki tasodifiy jaraenning bir nechta xarakteristikasini bir vaktning uzida ulchashdan xosil bulgan sonli sistemadan iborat bulishi mumkin. Bunday tajribalarni kup ulchovli tajribalar deb ataymiz.

Faraz kilaylik () extimollik fazosida n -ta ₁,₂,...,_n tasodifiy mikdorlar berilgan bulsin.

Kuyidagi (w)= (₁(w),₂(w),...,_n(w)) tasodifiy mikdorlar sistemasiga n ulchovli tasodifiy mikdor eki tasodifiy vektor deb ataladi.

Agar n ulchovli tasodifiy vektorning barcha mumkin bulgan kiymatlar soxasini  _{1 ,2,...,n} deb belgilasak, u xolda uning xar kanday ixtieriy kism tuplami A _{1 ,2,...,n} ning barcha kism tuplamlaridan tashkil topgan tuplam G _{1 ,2,...,n} -algebra deyiladi va G _{1 ,2,...,n} da xodisa extimoli deb ataluvchi tushuncha kiritiladi.

Yukorida aytilgan fikrlarni n -ulchovli tasodifiy mikdorlarning eng soddasi bulishi ikki ulchovli (₁,₂) tasodifiy mikdor uchun eritaylik.

^ ₁ ,₂

^G ₁ ,₂

• 
  ikki ulchovli tasodifiy vektorning mumkin bulgan kiymatlar soxasi.
  
• 
  {₁1₂2} kurinishdagi tasodifiy xodisalar - algebrasi.
  

Ixtieriy A _{1 ,2}

kiritiladi.

,A _{1 ,2} uchun uning extimoli deb ataluvchi tushuncha kuyidagicha

R _{1 ,2} (A)=R({W(₁(W)₂(w)A})

Natijada ixtieriy AG _{1 , 2} uchun Kolmogorov aksiomalarini kanoatlantiruvchi manfiy bulmagan R _{1 ,2} (A) son mos kuyiladi. Xosil bulgan uchlik ( _{1 ,2} ,G _{1 ,2} ,R _{1 ,2} ) ikki ulchovli tasodifiy mikdorning extimollik fazosi deyiladi.

Misol. Agar ukka tutilaetgan joyni tekis soxa deb karalsa, snaryadning tushish nuktasi ikki ulchovli tasodifiy mikdorga misol bula oladi. Mikroskop ostida kuzatilaetgan tekis broun xarakatida zarrachaning vaktning belgilangan momentidagi xolati ikki ulchovli tasodifiy mikdordir.

Karalaetgan tekislikda koordinatalar sistemasini kiritib, ikki ulchovli tasodifiy mikdorning kiymati bulgan xar bir nuktani ikkita son - uning koordinatalari bilan xarakterlay olamiz. Uz navbatida xar bir koordinata odatdagi (bir ulchovli) tasodifiy mikdor buladi. Shuning uchun ikki ulchovli tasodifiy mikdorni ikkita bir ulchovli tasodifiy mikdor sistemasi deb karash mumkin.

Ikki ulchovli tasodifiy mikdorning taksimot funktsiyasi va uning xossalari

Ta`rif. Ikki ulchovli tasodifiy mikdor () ning taksimot funktsiyasi kuyidagi (

F(x,y)=P{(

Geometrik nuktai nazardan ikki ulchovli tasodifiy mikdorning taksimot funktsiyasi tasodifiy (,) nuktaning uchining koordinatalari (x,u) bulgan kvadratining chapi va pastida etish extimoliga aytiladi.

F(x,y) funktsiya kuyidagi xossalarga ega:

1. 0F(x,y)1 x,y_,

2. F(x,y) taksimot funktsiya xar bir argumenti buyicha kamaymaydigan funktsiya, ya`ni x₂>x₁ uchun F(x₂,y) F(x₁,y)

u₂>u₁ uchun F(x,y₂) F(x,y₁) F(y)=limF(x,y)=0; F(x,)=limF(x,y)=0 F()=limF(x,y)=0; F(++)=limF(x,y)=1

Agar F(x,u) funktsiyaning argumentlaridan biri + ga intilsa, u xolda F() funktsiya ikkiligi argumentga tegishli tasodifiy mikdorning taksimot funktsiyasiga aylanadi:

limF(x,y)= F(+y)=F₂(y);

limF(x,y)= F(x,+)=F₁(x);

F₁(x) va F₂(y) lar mos ravishda  va  tasodifiy mikdorlarning taksimot funktsiyalari

5. F(x,y) funktsiya xar bir argumenti buyicha chapdan uzluksiz

Natija. (,) tasodifiy nuktaning AVSD tugri turtburchakka tushish extimoli kuyidagicha: R{(x₁x₂)(y₁y₂)}=F(x₂,y₂)- -F(x₁,y₂)- F(x₂,y₁)+ F(x₁,y₁)

Chekli sondagi eki cheksiz ketma- ketlik xosil kiluvchi xar xil kiymatlar kabul kiluvchi ikki ulchovli tasodifiy mikdor diskret tasodifiy mikdor deyiladi.

Ikki ulchovli diskret tasodifiy mikdorni tula xarakterlash uchun mumkin bulgan kiymatlar tuplamini va xar bir kiymatning extimolini (taksimot konunini) kursatish kifoya.

Ta`rif. Ikki ulchovli diskret tasodifiy mikdor (,) ning taksimot konuni deb shu tasodifiy mikdorning kabul kilishi mumkin bulgan barcha kiymatlari (x_i,u_i) bilan, xar bir kiymatni k0abul kilish extimollari

R(x_i,u_i)=R{(=x_i )(=y_j)}=p_ij ni berilishiga aytiladi. Taksimot konuni kuyidagicha:

 	x1	X2	...	xi	...	xn	
u1	P(x1,y1)	P(x2,y1)	...	P(xi,y1)	...	P(xn,y1)	P(y1)
u2	P(x1,y2)	P(x2,y2)	...	P(xi,y2)	...	P(xn,y2)	P(y2)
...	...	...	...	...	...	...	...
uj	P(x1,yj)	P(x2,yj)	...	P(xi,yj)	...	P(xn,yj)	P(yj)
...	...	...	...	...	...	...	...
ym	P(x1,ym)	P(x2,ym)	...	P(xi,ym)	...	P(xn,ym)	P(ym)
...	P(x1)	P(x2)	...	P(xi)	...	P(xn)	1

jadval erdamida tasvirlash mumkin. Bu erda gorizontal buylab ikki ulchovli tasodifiy mikdorning abstsissalari kabul kilish mumkin bulgan kiymatlar vertikal buylab esa ordinatalarining kiymatlari ezilgan. Jadvalning kataklariga ikki ulchovli tasodifiy mikdorning tekislikning berilgan nuktasiga tushishiga mos tegishli extimoli ezilgan. Agar ikki ulchovli tasodifiy mikdor (,) ni yukorida kursatilganidek ikkita bir ulchovli , tasodifiy mikdorlar tuplami deb karasak, u xolda R(x_i,u_j) extimol (= x_i) va (=u_j) xodisalarning birgalikda yuz berish extimolidir.

Jadvaldan kurinib turibdiki, R(x_i,u_j) extimollar jadvaliga ega bulgan xolda  tasodifiy mikdorning  tasodifiy mikdor kanday kiymat kabul kilishdan kat`i nazar x_i kiymatini kabul kilish extimolini topish mumkin.

R(x_i)=P(= x_i)=P(x_i,y₁)+P(x_i,y₂)+...+P(x_i,y_j)+...+= _ P( x_i , y _j ) =P_i

j

Shunday kilib P(= x_i) ni topish uchun jadvalning i-ustunidagi P(x_i,y_j) extimollarni kushish lozim ekan. Xuddi shu yul bilan  tasodifiy mikdorning u_i kiymatni kabul kilish (=u_j) xodisasini extimolini j-satrdagi extimollarni kushish bilan xosil kilinadi.

R(u_i)=P(= u_j)= _ P( x_i , y _j ) =P_i

i
14-§. Matemtik statistikaning asosiy masalalari

Biz mazkur kitobning XXIII — XXV boblarida tasodifiy hodisa, tasodifiy hodisaning ehtimoli, tasodifiy miqdorlar va ularning sonli xarakteristikalari, tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni, taqsimot funktsiyasi hamda ehtimol zichligi (differentsial funktsiyasi) kabi tushunchalar bilan tanishdik, Bu tushunchalar asosida amaliyotda uchraydigan xayotiy masalalarni echishni o`rgandik. Ehtimollar nazariyasining muhim tushunchalaridan biri tasodifiy miqdor va uning taqsimot funktsiyasi tushunchalaridir. Bizga ma`lumki, tasodifiy miqdorlar o`zlarining taqsimot funktsiyasi bilan to`la aniqlanadi. Tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasini bilgan holda biz u miqdor bilan

bog`langan jarayonni to`la o`rganish imkoniyatiga ega bo`lamiz. Ammo amaliyotda bizni qiziqtirayotgan tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi noma`lum yoki taqsimot funktsiyaning ko`rinishi ma`lum, uning parametrlari noma`lum bo`ladi. Bunday hollarda tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasini yoki uning ayrim sonli xarakteristikalarini (taqriban) baholash zaruriyati tug`iladi. Bu kabi masalalarni oliy matematikaning bo`limlaridan biri—matematik statistika fani tajriba (kuzatish) yordamida tahlil qilish yo`li bilan o`rganadi.

Umumiy qilib aytganda, matematik statistikada statistik ma`lumotlar va bu ma`lumotlarni tahlil qilish bilan ilmiy va amaliy xulosalar chiqarishning matematik usullari o`rganiladi. Shunday kilib, matematik statistika quyidagi ikki asosiy vazifani hal qiladi:

1. 
   Barcha statistik ma`lumotlarni to`plash, lozim bo`lsa, guruhlash.
   
2. 
   To`plangan ma`lumotlarni maqsadga muvofiq qilib tahlil qilish.
   

15-§. Tanlanma usul

Aytaylik, biror korxona katta sonda mahsulot ishlab chiqargan bo`lib, bu mahsulotni sifat yoki son belgilari bo`yicha tekshirilishi talab etilsin. Ishlab chiqarilgan mahsulotning soni juda ko`p, binobarin, ularning har birini aytilgan belgi bo`yicha tekshirish qiyin bo`ladi. Bunday holda quyidagicha ish tutiladi: barcha mahsulotlardan tavakkal qilib ma`lum sondagisi olinadi, ularni tekshirib, korxonaning barcha mahsulotlari to`g`risida xulosa chiqariladi. Tekshirishning bunday usuli tanlanma usul deyiladi. Quyida bu usulni batafsilroq o`rganamiz.

O`rganilishi lozim bo`lgan barcha ob`ektlar to`plami bosh to`plam deb ataladi.

Bosh to`plamdan tasodifiy ravishda tanlab olingan ob`ektlar to`plami tanlanma to`plam yoki, kisqacha, tanlanma deb ataladi. Bunday to`plamdagi ob`ektlar soni shu to`plamning hajmi deb ataladi. Bosh to`plamning hajmi N, tanlanma to`plamning hajmi p bilan belgilanadi.

Masalan, korxonada ishlab chikarilgan 10000 mahsulotdan 100 tasi tekshirish uchun olingan bo`lsa, u holda bosh to`plamning hajmi N = 10000, tanlanma to`plamning hajmi esa p = 100 bo`ladi.

Bosh to`plamday tekshirish uchun tavakkaliga bitta element, keyin ikkinchi element ajratib olinadi va shu jarayonni davom ettirib, so`ng ajratib olingan elementlardan tanlanma tuziladi.

Agar tanlanma elementlarini bosh to`plamga qaytarmasdan, uning elementlari bosh to`plamdan ajratilsa, bunday tanlanma takrormas tanlanma deb ataladi.

Agar tanlanmaning elementlari (bosh to`plamdan tanlangan elementni yana) bosh to`plamga qaytarish yo`li bilan ajratilsa, bunday tanlanma takror tanlanma deb ataladi.

Modomiki, masala bosh to`plam elementlarining son yoki sifat belgisi to`g`risida kerakli ma`lumotlarni bilishdan iborat ekan, undan o`rganish uchun ajratilgan tanlanma (uning elementlari) vakolatli bo`lishi lozim. Ya`ni tanlanma to`plam bosh to`plamdan shunday ajratilishi lozimki, natijada ajratilgan tanlanma to`plam bosh to`plamni to`la xarakterlaydigan, boshkacha aytganda bosh tuplamning muhim xususiyatlarini o`zida saqlagan bo`lishi kerak. Buni odatda tanlanmaning reprezentativligi deyiladi.

Statistik taqsimotning grafigini bilish uning xarakterini yaqqolroq tasavvur etishda qo`l keladi. Biz quyida taqsimot grafigini yasash usullaridan poligon va gistogrammani yasashni keltiramiz.

Hajmi p bo`lg`ap tanlanma statistik taqsimot bilan berilgan bo`lsin:

x	x1	x2	…	xk
n	p1	p2	…	pk
W	W1	W2	…	Wk

bu erda x_i — variantalar, p_i — mos chastotalar; W_i — mos nisbiy chastotalar,

i  1, k .

(x₁, p₁), (x₂, p₂), …, (x_k, p_k) nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq tekislikda chactotalar poligoni deb ataladi.

(x₁, W₁), (x₂, W₂), …, (x_k, W_k) nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq nisbiy chastotalar poligoni deb ataladi.

Bu chiziqlarning grafiklarini yasash uchun variantalar qiymatlari abstsissalar o`qiga, chastotalar qiymatlari ordinatalar o`qiga ko`yiladi.

Statistik taqsimotning gistogrammasini yasash uchun avval barcha kuzatilgan qiymatlarni uzunligi h bo`lgan ketma-ket qismiy intervallarga (guruhlarga) bo`linadi va har bir intervalga tushgan variantalarning chastotalari topiladi.

Asoslari h uzunlikdagi intervallar, balandliklari

ⁿⁱ nisbatga teng bo`lgan to`g`ri

h

i
n

to`rtburchaklardan iborat pog`onaviy figura chastotolar gistogrammasi deb ataladi. Bu erda

h

nisbat chastota zichligi deyiladi.

Asoslari h uzunlikdagi intervallar, balandliklari

^Wi nisbatga teng bo`lgan to`g`ri

h

to`rtburchaklardan iborat pog`onaviy figura nisbiy chastotalar gistogrammasi deb aytiladi.

Chastotalar gistogrammasiniig yuzi tanlanma hajmi p ga, nisbiy chastotalar gistogrammasining yuzi esa birga teng bo`ladi.

1. 
   misol. Tanlanmaning quyida berilgan taqsimoti bo`yicha chastotalar poligoiini yasang:
   

xi	2	3	5	6
pi	10	15	5	20

1)

2)

5, 6 sonlarini, ordinatalar o`qida esa

ularga mos 10, 15,

5, 20

echish. 1)

xi	12	17	22	16	30	34	38
pi	2	5	9	12	8	8	4

abstsissalar o`qida 2, 3, sonlarini belgilaymiz, ya`ni

koordinatalari (2; 10), (3; 15), (5; 5), (6; 20) bo`lgan nuqtalarni yasab, ularni siniq chiziqlar bilan tutashtiramiz (149-chizmaga karang).

2) Yuqoridagi misol kabi echiladi.

2. 
   misol. Jo`xori donidan 100 dona olindi va ularning har birini tortib ko`rib, quyidagi statistik taqsimot olindi:
   

Jo`xori og`irliklari	0,1 - 0,3	0,3 - 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9
Jo`xorilar soni	18	52	18	12

Shu taqsimotning gistogrammasini tuzing.

echish. Intervallar uzunligi h=0,2 ga teng bo`lgani uchun to`g`ri to`rtburchak balandliklarining nisbati mos ravishda quyidagicha bo`ladi:

n_{1 }

n

18


0,2

 90;

ⁿ²  260;

h

ⁿ³  60.

h

Intervallarni abstsissalar o`qida, balandliklarini ordinatalar o`qida qo`yib pog`onaviy to`g`ri to`rtburchaklar hosil qilamiz (150-chizmaga qarang).

3. 
   misol. Tanlanmaning quyida berilgan taqsimoti bo`yicha nisbiy chastotalar gistogrammasini yasang. Bu erda p = 20.
   

10—15	2
15—20	4
20—25	8
25—30	4
30-35	2

echish. Nisbiy chastotalarni topamiz:

W₁ 

²  0,1;

20

W₂ 

⁴  0,2;

20

W₃  0,4;

W₄  0,2;

W₅  0,1.

Nisbiy chastotalar zichligini topamiz:

^W1  ^0,1  0,02; ^W2  0,04; ^W3  0,08; ^W4  0,04; ^W5  0,02.

h 5 h h h h

Abstsissalar o`qida berilgan qismiy intervallarni belgilaymiz. Nisbiy chastotalar zichliklarini ordinatalar o`qida belgilaymiz va har bir interval ustida kesmalar o`tkazamiz, masalan, (10, 15) interval ustida abstsissalar o`qiga parallel va undan 0,02 masofada yotadigan kesma o`tkazamiz va hokazo .
16-