Ishning maqsadi. Matematik mayatnikning tebranish davrining tajribada aniqlashni o’rganis

Matematik mayatnik yordamida erkin tushish tezlanishini aniqlash.
Ishning maqsadi.

1. Matematik mayatnikning tebranish davrining tajribada aniqlashni o’rganish.

2. Tebranish davrining mayatnik yelkasi uzunligiga bog’liqligini o’rganish.

3. Tajribada topilgan natijalar asosida erkin tushish tezlanishini hisoblashni o’rganish.

Nazariy muqaddima

Moddiy nuqtaning muvozanat vaziyatidan istalgan vaqtdagi x(t ) siljishi – sinus yoki kosinus qonunlariga binoan o’zgaradigan garmonik tebranma xarakatdir.

Nyuton matematik mayatnik yordamida og’irlik kuchi tezlanishi juda katta aniqlik bilan topgan. Bu metodning aniqligi shunchalik kattaki, y g og’irlik kuchi tezlanishining geografik kenglikka bo’glik o’zgarishi (∆g1) ni xamda Yer qatlami zichligining o’zgarishi tufayli g ning normal qiymatidan chetlanishi (∆g2) ni yaqqol aniqlashga imkon beradi.

Matematik mayatnik deb, vaznsiz va cho’zilmaydigan ipga osilgan moddiy nuqtaga aytiladi. Mayatnikning uzunligi osma ipning bog’lanish nuqtasidan uning og’irlik markazigacha bo’lgan masofaga teng. Og’irlik markazigacha bo’lgan masofani aniqlash qulay bo’lishi uchun mayatnik sifatida shar shaklidagi qattiq jism olinadi. Real matematik mayatnik bilan tanishishda uni uzunligi l, massasi m bo’lgan moddiy nuqtadan ibrot.

Muvozanat xolatidan a burchakga og’dirilgan moddiy nuqtaga ikkita kuch ta’sir qiladi: og’irlik kuchi (P=mg) va ipning taranlik (F) kuchlari.

Agar P o’girlik kuchini ipning yo’nalishi bo’yicha yo’nalgan P2 va nuqtaning harakat yoyiga o’tkazilgan urunma bo’yicha yo’nalgan P1 tashkil etuvchilarga ajratsak, nuqtaning normal (markazga intilma) tezlanishi ip bo’ylab yo’nalgan kuchlar farqi bilan, tangensial tezlanishi faqat P1 kuch bilan aniqlanadi, ya’ni

Nyutonning II qonuniga asosan tangensial tezlanishni quydagicha ifodalash mumkin:

Demak, bu ifodadan ko’rinadiki tebranam harakat qiluvchi nuqtaning tangensial tezlanishi uning massasiga bo’glik emas.

Tezlikning son qiymati, shuningdek, bir chetki holatidan 2 chetki holatiga kelish uchun ketadigan vaqt ham nuqtaning massasiga bog’liq bo’lmasligi kerak.

Tangensial tezlanish soni qiymati jihatidan nuqta tezligining o’zgarishini ifodalaydi, ya’ni:

Nuqtaning tezligini quydagi

shakilda ifodalasak, unda tangensial tezlanishni

deb yozish mumkin, bu yerda dx – nuqtaning dt vaqt oralig’ida yoy bo’ylab bosim o’tgan yo’li. – dv va dx lar bir - biriga nisbatan qarama – qarshi ishoralari, chunki dx musbat ( nuqta muvozanat holatidan chetka chiqayotganida sijjish ortib boradi) bo’lganda, dv manfiy ( tezlik kamayib boradi ) boladi. Shuning uchun tangensial tezlanishni tebranma harakat qonuniga mos ravishda yozish mumkin:

d²x / dt² = - g sin a.

Og’ish burchagi kichik bo’lganida ( a ≤ 0,2 rad = 0,2 ∙ 57° = 11,4°) sin a ≈ a ( bunda hatolik 0,4% atrofida) bo’ladi. Ushbu xolatda tangensial tezlanish ifodasi yana ham sodalashadi, ya’ni:

d² x / dt² = - ag.

Agar a burchak nuqtaning muvozanat xolatidan og’ish masofasi (x) orqali ifodalansa (ya’ni a = x / l), xolda:

Demak, istalgan vaqt uchun nuqtaning siljish kattaligidan vaqt bo’yisha olingan ikkinchi tartibli xosila siljishga to’g’ri proporsianal. Nuqtaning xarakat qonunini aniqlash uchun istlagan vaqtdagi muvozanat xolatidan siljishni ifodalovchi x = x0 (t) funqsiyani topish lozim. Agar nuqta tebranma xarakat qilsa, uning funqsiyasi kuydagi ko’rinishga ega bo’ladi:

x = x0 sin (ωt + φ ),
bunda x0 – tebranish amplitudasi, φ – tebranishning boshlang’ich fazasi. Ω esa siklik chastota bo’lib, г quydagicha ifodalanadi.

ω =
Tenglama (4)dagi burchaklar radianlardan o’lchansa, uni qanoatlantiruvchi xarakat garmonik xarakat bo’ladi, bu xarakatning tebranma xarakatdan iborat ekanligi sinusning davriligidan ma’lumdir. Bu funqsiyaning davri 2π ga teng ya’ni ( ωt + φ ) kattalik 2π ga o’zgarganda x qiymat takrorlanadi.

Demak, moddiy nuqta bir yo’nalishda xarakat qilib, o’zining xolatini takror o’tish uchun kerak bo’ladigan T vaqt quydagi shartdan topiladi:
(ωt2 + φ) – (ωt1+ φ) = 2π.
Bundan matematik mayatnik yoki nuqtaning tebranish davri topiladi, ya’ni:
T = t2 – t1 = ω
Ushbu tenglama (5)ni qo’yib, tebranish davrining mayatnik yelkasining uzunligiga va jismning erkin tushish tezlanishiga bog’lanish ifodasi xosil qilinadi:
T = 2π
Demak mayatnikning tebranish davri uning uzunligiga va berilgan nuqtaning og’irlik kuchi tezlanishiga bog’liq ekan. Bu formuladan mayatnik uzunligining tebranish davri kvadratiga nisbati o’zgarmas kattalik bo’lib, uning qiymati og’irlik kuchi tezlanishiga keltirib chiqarish mumkin:

Yuqoridagilardan ko’rinadiki, tajribada mayatnik uzunligini va uning tebranish davrini o’lchab, kattaliklarni (8) tenglamaga ko’yib, g ning qiymatini xisoblab topish mumkin ekan.

Nyuton tomonidan bajarilgan o’lchashlardan foydalanib, Yerning massasi yetarlicha aniqlik bilan topilgan, chunki gravitasion maydon nazariyasidan ma’lumki, og’rilik kuchi tezlanishi quydagicha ifodalanadi:

bu yerda MEp – Yer massasi; R – Yer radiusi; γ – gravitasiya doimiy. Bundan γ Kavendish tajribasiga o’hshash tajribalardan, Yer radiusi esa astronomik o’lchashlardan aniqlanish mumkin. Nyuton xar hil moddadan yasalgan va massasi xar hil bo’lgan mayatniklarning tebranish davrlarini kuzatib, og’irlik kuchi tezlanishining kiymati mayatnik massasiga bog’liq emas, degan xulosaga kelgan. Bu hulosa, o’z navbatida, inert va tortishish massalarining bir – biriga ekvivalent massalar ekanligini bildiradi.

Og’irlik kuchi tezlanishini (8) formula bilan xisoblanganda, vaqtni katta aniqlikda o’lchash qiyin bo’lganligidan, xisoblash hatoligi katta bo’ladi. Xisoblash hatoligini kamaytirish maqsadida kuydagi usuldan foydalanamiz. Ma’lumki,
T² =
ya’ni mayatnik tebranish davrining kvadrati uning uzunligiga chiziqli bog’lanishda bo’lib, burchak koeffisienti ga teng. Agar mayatnikning xar hil uzunligi uchun tebranish davri topilsa va ulardan foydalanib, T² ning lga bog’lanish grafigi chizilsa, xosil bo’lgan to’g’ri chiziqning burchak koeffisientidan foydalanib, g ni xisoblash mumkin. Bu usulning boshqalaridan afzalligi shundan iboratki, ipning uzunligini o’lchash o’rniga uning o’zgarishini o’lchash kifoyadir. Bu esa o’lchash hatoligini kamaytirib, g ni topishdi sharchaning radiusu o’lchanmasligi mumkin. Xaqiqtdan xam, mayatnikning uzunligi l1 =l1 – r bo’lganda, to’la tebranish davri T1 va l2 =l2 – r bo’lganda T2 bo’lsin. U xolda (8) ga asosan erkin tushish tezlanishini quydagicha yozish mumkin:


Bu yerda l1 va l2 – mayatnikning osilish nuqtasidan sharchaning pastki nuqtasiga bo’lgan masofalar, T1 va T2 lar esa mos ravishda l1 va l2 larga tegishli to’la tebranish davrlari.