Е-та рибий ечим. Дифференциал ва интеграл тенгсиз

X— x_n

1

dx =

| F (x) j dx.

С

\x*—x₀\

¹ Xn

Xq
F
1
(x) функция \x — x₀| < а интервалда узгармас булмагани учун
\F(x)\dx\<.Q
булади, шунинг учун Q Бу зиддиятлик теоремани исбот этади.
. 3-§. МАКСИМАЛ ВА МИНИМАЛ ЕЧИМЛАР
2:4-таъриф. f (х, у) функция бирор Г сощда аницланган ва узлуксиз булсин. Агар у = у⁰ (х) функция Коши тасаласининг давомсиз (мавжудлигининг шаксимал интервалида аницланган) ечи_Т mu ва у(х) функция yuia 'масаланинг ихпгиёрий ечими булиб, бу ечи'млар учун мавжудлик интгрвалларининг умумий цистида
у(х) <{г/ °(х) (2.17
тенгсизлик уринли булса, у урлда у = у⁰ (х) ечим Коши 'масаласи нинг шаксимал ечими дейилади.
Минимал ечим тушунчаси ^ам шунга ухшаш киритилади. Фа^ат (2.17) урнига у{х) > у₀ (х) тенгсизлик ишлатилади.
Таърифни мисолда тушунтирайлик. 1-бобнинг2-§ ида ушбу
f=y\ У(-2)= 1 dx
А
Коши масаласини курган эдик. Интеграл чизи^лар абсциссага ури- ниб^утадиган кубик параболалардан иборат булиб у — 0 чизиц ^ар бир ну^тасидан сано^сиз интеграл чизицлар утадиган ечим эди.
(—2, 1)|ну^тадан утадиган кубик парабола у — (^{% а}^сцисса у^и
б
А н А
илан (—5, 0) нуклада кесишади Абсцисса у^ининг шу нуцтадан А₅чап томондаги ^исмини А_н ва интеграл чизи^нинг (—5, 0) ну^- тадан ю^ори шохчасини А₈А_вА₇ дей- лик (16-чизма). У ^олда Д_гЛ₈Л₈Л₇ °>^а5 чизиц ю^орида ^уйилган Коши ма- саласининг ечими булади ва мав­жудлигининг максимал интерва- ли (—оо, +оо) булади. Бош^ача айтганда бу ечим давомсиздир. Ик-
чизма. кинчи томондан, айтилган ечи

м

16. 
    

максимал ечим. Буни курсатиш цийин эмас. у⁰ (х) = Л₁Л₈Л₆Л₇ десак, (—2, 1) нуктадан утувчи ихтиёрий у = у(х) интеграл чизик учун у(х₀) = у°(х₀) = у₀ ва [—5, —2] интервалда у°(х) = у(х). Энди у (х) сифатида Л₉Л₈Л_С интеграл чизи^ни оламизми ёки А_иА₁₀А_йА_в ихтиёрий интеграл чизикни оламизми, барибир, тегишли интервалда у°(х) > > у (х) тенгсизлик уринли. Агар у (х) сифатида Л₆Л₇ ёйни олсак, у ^олда [—2, + оо) .интервалда у(х) = у°(х) булади. Демак, берил­ган Коши масаласининг ихтиёрий ечими у(х) ва олинган давомсиз у°(х) ечим орасида тегишли интервалда (2.1/) муносабат уринли. Демак, у⁰ (х) = A₁A₈A_tA₄ ечим максимал ечимдир.
Ушбу
d
у{ з) = о
u
7Г^у
Коши масаласи учун A_lA.₂A_:i = у⁰ (х) чизи^ максимал ечимдир (16- чизма).
Шунга ухшаш, минимал ечимни .^ам тушунтириш мумкин. Л₆ = = (—2, 1) ну^та учун у₀(х) ечим A_gA_sA_t.A₇ чизи^цан, Л₈ = (—5, 0) нукта учун эса A_tJA_sA.,A₅ чизи^дан иборат булади. Шунингдек, А₂ нуцта учун А^А_А_Ъ чизик хам минимал ечимдир (16-чизма).
Бу курилган мисолда абсцисса у^ида ечимнинг ягоналиги бузи- лиши мумкин эди. Энди Г со^анинг барча нукталарида ечимнинг ягоналиги бузилмайдиган мисол курайлик. Ушбу
//(0) = 0.
d

м	//\Ау js, |

17 - ччзма.
y
т ⁼ У"
dx
Коши масаласи учун у⁰ (*)’.= 0,

• 
  > < х < + оо ечим максимал ечим булади. Шу билан бир вакт- да у минимал ечим хам булади, яъни у°(х) = 0, — v <; х < со.
  

^акикатан, куйилган Коши маса­ласининг ихтиёрий {г_и г.,) интер­валда аникланган у(х) ечими учун у(х) = у°(х)=у₀(х) (17-чизма).
Шунга ухшаш, агар у( I) = г бошлангич шартни каноатлангира- диган интеграл чизикни олсак, уни — со <; х < + со интервалга
давом эттириш мумкин, у⁰(х), у₀(х) ечимлар учун г/°(1) = г/₀( 1) = е, у⁰ (х) = у₀ (х) ва улар — оо <С X <С со интервалда давомсиз булади.

16. 
    чизмада А, = (1, е), у(х) = А^А,, у° (х) == у_ъ(х) =Л „Л .ЛИИ* ва (г_1у г») интервалда у°(х) = у₀ (х) = г/(v).
    

8. 
   т
   f_n(^x> У)
   еорема. f₀(x, у), f^x, у), f,(x, у),
   

кетма-кетликни ташкил этути фунщиялар Р'^: = {х, у): х_а <
х₀ + а, | у — у₀1 < Ь) тугри туртбурчакда узлуксиз були5, {f„(x, у)} кетма-кетлик f₀(x, у) га текис яцичлажич, яъни Р* д

а

• 
  

fo(^x> y)= Hm f_n(x, y). (2.18)
П-мо
Сунгра, у_n(x) -функция [x₀, x₀ -f- а] интервалда