\х— **_,| fe — min (6(e), iM.^<6(e).
xk—i ^ x <1 xk интервалдан ьбирор x ни с-лайлик. Шу интервал учун фГ (х) > ФпА,) (xft_i) + f (xk_v y^iXx — x^), фпк) (x) = cp,(/£) (xi_l)+ f(xk__,, yk_j) (I— xk l). (2.2)
Бундан
ФпА) (x) —
l„k) (x) | = | f(xA_,, yk_^ |. | x — x I < M Jx — x\.
Агар x = xk_l булса,
\*Рпк) (x) — (**_,) | ^ M j x — xA_, | < M min (б (e), =
= min (/W8(e),6(e)) < 6(e).
Демак,
I «Г (*)-€> owkw
Маълумки, xA_j < x < xA интервалда
ЯГ<Р?\Х) = ft'Vl- ФД**-!»’
dx
ифодани ба^олаймиз. хА—1 < х < хА ин-
Энди I ^x,cp«*) м)
тервалда (2.1) га кура
Z^
— Дх, Ф^’(х)) | = j f(xk_it
(nk) (xk_t)) — f(x, qik\x)) | <£
келиб чикади. k га 1, 2, . . . , ti цийматлар берсак х;ам шу тенгснз- лик уринли булади. Демак, (х0, х0 + h)jS тупламда 3° шарт бажарилади. 4° шарт уз-узидан бажарилган.
Ю^орида цурилган А0 Ах . . . Ап синик чизик, срп (х) — е- ечим булиб, уни Эйлер синиц чизиги дейилади.
Синик чизи^нинг А0 Аъ АгАг , ... , Ап_1 Ап булакларини ф'.'Ч*). <Р%Кх), ....
П
деб белгиласак, уп(х) = у ф№(*) булади. ^ар бир ц>^(х) ни топиш
учун (2.2) формула цу лла1 шлади.Гфп(х) ечимни кулайлик учун е - та^- рибий ечим деб атаймиз.
Биз 8п- такрибий ечимни Р+ турри туртбурчакда Бурдик. Тегиш- ли ечим Рп = {(х,у):х0— /г < х < х0, | у— уй\ К Ь} тупламда ^ам ^урилиши мумкин. Шундай цилиб, Ph тупламда Ф„(л:0) = у0 шартни каноатлантирадиган еп- такрибий ечимни ^урилди деса булади. Шу билан теорема исбот булди. dy
Маш^. — = cos х dx
5я 1
дифференциал тенглама берилган булиб, Р = {{х, у): \ х\ < л, | у | — |, х0 = О,
^ , - / Ъ \ / 5я \ 5я
у0=О булсин. я = min I а, —— = min я, — I = —- булгани учун Ph = {(х,у):
\ М I \ 6 / 6
6
Зя
чизири фв (х) ^урилсин ва х= мукдада хатолик з^исоблансин.
2. 2- т а ъ р и ф. Агар \ х — хп1 < h интервалда ашщланган функ- цияларнинг
fi(x), ft(x) fn(x), ■ . . (2.3)
функционал кетма-кетлиги учун шундай b узгармас сон топилсаки, барча натурал п сонлари^ва | х — jc0 | < /г интервал учун
\Ш\<ь
тенгсизлик уринли булса, у \олда (2.3) кетма-кетлик. спиц. \х—х0| интервалда текис чегараланган дейилади.
таъриф. Агар ёпщ \х — хс | < h интервалда анщланган функциялардан тузилган (2.3) кетма-кетлик берилган булиб, щр цандай г > О учун шундай б > О топилсаки, барча п лар учун I х — х" | < б тенгсизлик бажарилганда ушбу
№')-/„(Л1<е
тенгсизлик уринли булса, у урлда (2.3) кетма-кетлик текис дара- жали узлуксиз дейилади.
теорема (Асколи—Арцел теоремаси). Агар (2.3) кетма-кетлик чекли \х — х01 < h интервалда текис чегараланган ва текис даражаш узлуксиз булса, у холда (2.3) кетма-кетликдан {jtua интервалда текис яцинлашувчи цисмий кетша-кетлик ажратиш туткин.
теорема. Агар ёпщ \х — х01 < h интервалдаузлуксиз булган функцияларнинг (2.3) кетта-кетлиги шу интервалда текис ящнлашувчи булса, у хрлда бу кетша-кетлик текис чегараланган ва текис даражали узлуксиз булади.
Бу теорем аларнинг исботи математик анализ дарсликларида бор булганидан унга тухталмаймиз. Аммо бу теоремалардан келажакда фойдаланамиз.
теореманинг исботи. Шундай {еп}, гп > 0 сонлар кетма-кет- лигини оламизки, п ->■ оо да еп-»- 0 булади. 1.18- теоремага кура (1.1) дифференциал тенгламанинг ( х—х0 | < h интервалда аникланган Фп(;с) = у0 бошлапгич шартни ^аноатлантирадиган ва графиги Ph туп-
ламдан чи^майдиган еп-такрибий ечим бор ва бирор х, х0 — h < х < < *0 + h учун
(2.4)
Шу-
I % (*) ~ Фп(А'о) 1 < М 1 х—х01 < М~ = Ь.
Ушбу
|ф„(*)—уЛ>Мх)\~ Ы
тенгсизликдан
келиб чицади. Бу (фп(х)} кетма-кетликнинг текис чегараланганлиги- ни тасдиклайди. Юцоридаги муло^азалардан |{фп(а)} кетма-кетликка
теоремани цулланиш мумкин.
(фп/,(х)} кетма-кетлик {фп (а:)} кетма-кетликдан ажратилган ва
бирор узлуксиз ф (х) 'функцияга текис я^инлашувчи булсин. К,улай- лик учун {ф„ (л;)} цисмий кетма-кетлик учун ^ам {ф,г(х)} белгини ишла-
таверамиз.
д
X
d(D (х)
бу ерда | Ап(х) | = f (х,% (х)) < ея, *е{|*-*0|< h}\S,
ан /г->оо да | ф(лт) — ф(х) | < М | х — х |. е„- та^рибий ечим учун тегишли интеграл тенгламани ёзамиз:
(2.5)
А„(*) = Of x£S. Энди {ф (*)} цисмий кетма-кетликни олайлик:ft^oo л
Ф
ни
„.(х)—*ф(х). (2.5) га асосан ф^(х)=г/0 + J (/(£, %f(t) + A„fc(^M
к Xt
ва k ->- оо да t„—> оо эканини ^исобга олсак:
1>
Do'stlaringiz bilan baham: |